Упр.19.13 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 19.13. Напишите уравнение касательной к графику функции у= f(x) в точке с абсциссой х = а: а) у = е(3x-1), а = 1/3; в) у = 2/ex, а = 0; б) у = xe(-2x + 1), а = 0,5;г) у = ex/(x+1), а = 0.
а) $$y=e^{3x-1}, \quad a=\frac13$$
Найдём значение функции и производной в точке $$x=\frac13$$:
$$ y\!\left(\frac13\right)=e^{3\cdot \frac13-1}=e^0=1, $$
$$ y'(x)=\left(e^{3x-1}\right)’=3e^{3x-1}, $$
$$ y’\!\left(\frac13\right)=3e^{3\cdot \frac13-1}=3e^0=3. $$Уравнение касательной:
$$ y=y(a)+y'(a)(x-a) $$
$$ y=1+3\left(x-\frac13\right)=3x. $$б) $$y=xe^{-2x+1}, \quad a=0{,}5$$
$$ y(0{,}5)=0{,}5\cdot e^{-2\cdot 0{,}5+1}=0{,}5\cdot e^0=0{,}5. $$
Найдём производную:
$$ y'(x)=(x)’e^{-2x+1}+x\left(e^{-2x+1}\right)’ $$
$$ y'(x)=e^{-2x+1}-2xe^{-2x+1}=e^{-2x+1}(1-2x). $$$$ y'(0{,}5)=e^{-2\cdot 0{,}5+1}(1-2\cdot 0{,}5)=e^0\cdot 0=0. $$
Тогда
$$ y=0{,}5+0\cdot (x-0{,}5)=0{,}5. $$
в) $$y=\frac{2}{e^x}, \quad a=0$$
$$ y(0)=\frac{2}{e^0}=2. $$
Так как $$y=2e^{-x}$$, то
$$ y'(x)=2(-e^{-x})=-2e^{-x}, $$
$$ y'(0)=-2e^0=-2. $$Уравнение касательной:
$$ y=2-2(x-0)=2-2x. $$
г) $$y=\frac{e^x}{x+1}, \quad a=0$$
$$ y(0)=\frac{e^0}{0+1}=1. $$
Найдём производную по формуле производной частного:
$$ y'(x)=\frac{(e^x)'(x+1)-e^x(x+1)’}{(x+1)^2} $$
$$ y'(x)=\frac{e^x(x+1)-e^x}{(x+1)^2} =\frac{xe^x}{(x+1)^2}. $$$$ y'(0)=\frac{0\cdot e^0}{(0+1)^2}=0. $$
Тогда
$$ y=1+0\cdot (x-0)=1. $$
Ответ
а) $$y=3x$$;
б) $$y=0{,}5$$;
в) $$y=2-2x$$;
г) $$y=1$$.
