Упр.19.11 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 19.11. Решите неравенство g'(x) < а, если: а) g(x) = 6 - 1/2е(2х-3), а = 4; б) g(x) = x + е(4x-3), а = 5; В) g(х) = 1/3е(3x+5), а = 1/e. г) g(x) = е(9х +21) - х, а = 8.

Подробный ответ

а) $$g(x)=6-\frac12 e^{2x-3}, \quad a=\frac1{e^3}.$$
Найдём производную:
$$g'(x)=0-\frac12\cdot 2e^{2x-3}=-e^{2x-3}.$$
Решаем неравенство:
$$-e^{2x-3}<\frac1{e^3}.$$
Умножим на $$-1$$, изменив знак неравенства:
$$e^{2x-3}>-\frac1{e^3}.$$
Так как $$e^{2x-3}>0$$ при любых $$x$$, неравенство верно для всех действительных чисел.
$$x\in\mathbb{R}.$$
б) $$g(x)=x+e^{4x-3}, \quad a=5.$$
$$g'(x)=1+4e^{4x-3}.$$
Решаем неравенство:
$$1+4e^{4x-3}<5.$$
$$4e^{4x-3}<4,$$
$$e^{4x-3}<1,$$
$$4x-3<0,$$
$$x<\frac34.$$
в) $$g(x)=\frac13 e^{3x+5}, \quad a=\frac1e.$$
$$g'(x)=\frac13\cdot 3e^{3x+5}=e^{3x+5}.$$
Решаем неравенство:
$$e^{3x+5}<\frac1e.$$
$$e^{3x+5}
$$3x+5<-1,$$
$$3x<-6,$$
$$x<-2.$$
г) $$g(x)=e^{9x+21}-x, \quad a=8.$$
$$g'(x)=9e^{9x+21}-1.$$
Решаем неравенство:
$$9e^{9x+21}-1<8,$$
$$9e^{9x+21}<9,$$
$$e^{9x+21}<1,$$
$$9x+21<0,$$
$$x<-\frac73.$$