Упр.18.9 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 18.9. a) log(x-3) (6 — х) > log(x-3)(x2) ; б) log(Пи-2)(x2 + 22) < log(Пи-2)(13x); в) log(3-0,5Пи)(x - 6) меньше или равно log(3-0,5Пи)(6 - х2); г) log(3,2-Пи)(x2 - 27) > log(3,2-Пи)(6x).
а) Так как основание логарифма $$\pi-3>1,$$ то знак неравенства сохраняется:
$$ \log_{\pi-3}(6-x)\ge \log_{\pi-3}x^2 \;\Longrightarrow\; 6-x\ge x^2. $$
$$ x^2+x-6\le 0 $$
$$ (x+3)(x-2)\le 0 $$
$$ x\in[-3;2]. $$Учитываем область определения:
$$ 6-x>0 \;\Longrightarrow\; x<6, $$
а также
$$ x^2>0 \;\Longrightarrow\; x\ne 0. $$Итак,
$$ x\in[-3;0)\cup(0;2]. $$
б) Основание $$\pi-2>1,$$ значит знак неравенства сохраняется:
$$ \log_{\pi-2}(x^2+22)<\log_{\pi-2}(13x) \;\Longrightarrow\; x^2+22<13x. $$
$$ x^2-13x+22<0 $$
$$ (x-2)(x-11)<0 $$
$$ x\in(2;11). $$Область определения:
$$ x^2+22>0,\quad 13x>0 \;\Longrightarrow\; x>0. $$
Пересечение с найденным промежутком не меняет ответ:
$$ x\in(2;11). $$
в) Основание $$3-0{,}5\pi<1,$$ поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$$ \log_{3-0{,}5\pi}(-x-6)\le \log_{3-0{,}5\pi}(6-x^2) \;\Longrightarrow\; -x-6\ge 6-x^2. $$
$$ x^2-x-12\ge 0 $$
$$ (x+3)(x-4)\ge 0 $$
$$ x\in(-\infty;-3]\cup[4;\infty). $$Область определения:
$$ -x-6>0 \;\Longrightarrow\; x<-6, $$
$$ 6-x^2>0 \;\Longrightarrow\; -\sqrt6<x<\sqrt6. $$Пересечение этих условий пусто, значит решений нет.
г) Основание $$3{,}2-\pi<1,$$ поэтому знак неравенства меняется:
$$ \log_{3{,}2-\pi}(x^2-27)>\log_{3{,}2-\pi}(6x) \;\Longrightarrow\; x^2-27<6x. $$
$$ x^2-6x-27<0 $$
$$ (x+3)(x-9)<0 $$
$$ x\in(-3;9). $$Область определения:
$$ x^2-27>0 \;\Longrightarrow\; x<-3\sqrt3 \;\text{или}\; x>3\sqrt3, $$
$$ 6x>0 \;\Longrightarrow\; x>0. $$Следовательно,
$$ x\in(3\sqrt3;9). $$
Ответ
а) $$x\in[-3;0)\cup(0;2]$$;
б) $$x\in(2;11)$$;
в) $$\varnothing$$;
г) $$x\in(3\sqrt3;9)$$.
