Упр.18.8 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите неравенство: 18.8. a) log3 (х2 + 6) < log3(5x); б) log 0,6 (6x - х2) > log 0,6 (-8 — х); в) lg (х2 — 8) меньше или равно lg (2 — 9x); г) log корень 2(x2 + 10x) больше или равно log корень 2(x — 14).

1. а) $$\log_3(x^2+6)<\log_3(5x)$$

   Так как основание $$3>1$$, то сравниваем аргументы:

   $$x^2+6<5x$$

   $$x^2-5x+6<0$$

   $$ (x-2)(x-3)<0 $$

   Отсюда $$2<x<3$$.

   Проверим область определения: $$x^2+6>0$$ при всех $$x$$, а также $$5x>0$$, значит $$x>0$$. Получаем:

   $$x\in(2;3).$$

2. б) $$\log_{0,6}(6x-x^2)>\log_{0,6}(-8-x)$$

   Так как основание $$0,6<1$$, знак неравенства при сравнении аргументов меняется:

   $$6x-x^2<-8-x$$

   $$x^2-7x-8>0$$

   $$ (x+1)(x-8)>0 $$

   Отсюда $$x<-1$$ или $$x>8$$.

   Теперь учтём область определения:

   $$6x-x^2>0 \;\Rightarrow\; x(6-x)>0 \;\Rightarrow\; 0<x<6,$$

   $$-8-x>0 \;\Rightarrow\; x<-8.$$

   Пересечения нет, значит решений нет.

3. в) $$\lg(x^2-8)\le \lg(2-9x)$$

   Так как основание десятичного логарифма больше 1, сравниваем аргументы:

   $$x^2-8\le 2-9x$$

   $$x^2+9x-10\le 0$$

   $$ (x+10)(x-1)\le 0 $$

   Отсюда $$-10\le x\le 1$$.

   Область определения:

   $$x^2-8>0 \;\Rightarrow\; x<-2\sqrt2 \text{ или } x>2\sqrt2,$$

   $$2-9x>0 \;\Rightarrow\; x<\frac{2}{9}.$$

   Пересечение с $$[-10;1]$$ даёт:

   $$x\in[-10;-2\sqrt2).$$

4. г) $$\log_{\sqrt2}(x^2+10x)\ge \log_{\sqrt2}(x-14)$$

   Так как основание $$\sqrt2>1$$, сравниваем аргументы:

   $$x^2+10x\ge x-14$$

   $$x^2+9x+14\ge 0$$

   $$ (x+7)(x+2)\ge 0 $$

   Отсюда $$x\le -7$$ или $$x\ge -2$$.

   Область определения:

   $$x^2+10x>0 \;\Rightarrow\; x(x+10)>0 \;\Rightarrow\; x<-10 \text{ или } x>0,$$

   $$x-14>0 \;\Rightarrow\; x>14.$$

   С учётом ОДЗ получаем:

   $$x\in(14;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in(2;3)$$; б) $$\varnothing$$; в) $$x\in[-10;-2\sqrt2)$$; г) $$x\in(14;+\infty)$$.