Упр.18.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 18.7. Найдите наибольшее целое решение неравенства: а) log7(6x — 9) < log7 (2х + 3); б) log1/5(2 - x) больше или равно log1/5(2x + 4); в) lg (8х - 16) < lg (3х + 1); г) log 0,4 (7 - x) больше или равно log 0,4 (3x + 6).

1. а) Основание логарифма $$7>1$$, значит знак неравенства сохраняется:

   $$ \log_7(6x-9)<\log_7(2x+3)\;\Longrightarrow\;6x-9<2x+3 $$
   $$ 4x<12,\quad x<3 $$

   Область определения:

   $$ 6x-9>0,\quad 2x+3>0 $$
   $$ x>\frac{3}{2},\quad x>-\frac{3}{2} $$
   значит $$x>\frac{3}{2}$$.

   Пересечение условий:

   $$ \frac{3}{2}<x<3 $$

   Наибольшее целое решение: $$2$$.

2. б) Основание $$\frac15$$ лежит между $$0$$ и $$1$$, поэтому знак неравенства меняется:

   $$ \log_{\frac15}(2-x)\ge \log_{\frac15}(2x+4)\;\Longrightarrow\;2-x\le 2x+4 $$
   $$ -3x\le 2,\quad x\ge -\frac23 $$

   Область определения:

   $$ 2-x>0,\quad 2x+4>0 $$
   $$ x<2,\quad x>-2 $$

   Пересечение условий:

   $$ -\frac23\le x<2 $$

   Наибольшее целое решение: $$1$$.

3. в) Основание $$10>1$$, значит знак неравенства сохраняется:

   $$ \lg(8x-16)<\lg(3x+1)\;\Longrightarrow\;8x-16<3x+1 $$
   $$ 5x<17,\quad x<\frac{17}{5} $$

   Область определения:

   $$ 8x-16>0,\quad 3x+1>0 $$
   $$ x>2,\quad x>-\frac13 $$
   значит $$x>2$$.

   Пересечение условий:

   $$ 2<x<\frac{17}{5} $$

   Наибольшее целое решение: $$3$$.

4. г) Основание $$0{,}4$$ меньше $$1$$, поэтому знак неравенства меняется:

   $$ \log_{0{,}4}(7-x)\ge \log_{0{,}4}(3x+6)\;\Longrightarrow\;7-x\le 3x+6 $$
   $$ 1\le 4x,\quad x\ge \frac14 $$

   Область определения:

   $$ 7-x>0,\quad 3x+6>0 $$
   $$ x<7,\quad x>-2 $$

   Пересечение условий:

   $$ \frac14\le x<7 $$

   Наибольшее целое решение: $$6$$.

Ответ

а) $$2$$; б) $$1$$; в) $$3$$; г) $$6$$.