Упр.18.6 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 18.6. a) log ((корень 2)-1)(7x — 21) меньше или равно log ((корень 2)-1)(21 — 3х); б) log((корень 2)+1)(2x + 7) > log((корень 2)+1) + 1(19 — 6x); в) log Пи(5x — 15) больше или равно log Пи(15 — 3x); г) log(2-(корень 3))(4х + 17) < log(2-(корень 3))(25 - 5x).

Подробный ответ

а) Основание $$\sqrt{2}-1$$ лежит между $$0$$ и $$1$$, значит логарифмическая функция убывает. Поэтому
$$ 7x-21 \ge 21-3x. $$
Решаем неравенство:
$$ 7x-21 \ge 21-3x \\ 10x \ge 42 \\ x \ge 4{,}2. $$
Область определения:
$$ 7x-21>0,\quad 21-3x>0 $$
$$ x>3,\quad x<7. $$
Пересечение условий:
$$ x \in [4{,}2; 7). $$
б) Основание $$\sqrt{2}+1>1$$, значит логарифмическая функция возрастает. Тогда
$$ 2x+7 > 19-6x. $$
Решаем:
$$ 2x+7 > 19-6x \\ 8x > 12 \\ x > 1{,}5. $$
Область определения:
$$ 2x+7>0,\quad 19-6x>0 $$
$$ x>-3{,}5,\quad x<\frac{19}{6}. $$
Пересечение условий:
$$ x \in \left(1{,}5;\frac{19}{6}\right). $$
в) Основание $$\pi>1$$, значит логарифмическая функция возрастает. Получаем
$$ 5x-15 \ge 15-3x. $$
Решаем:
$$ 5x-15 \ge 15-3x \\ 8x \ge 30 \\ x \ge 3{,}75. $$
Область определения:
$$ 5x-15>0,\quad 15-3x>0 $$
$$ x>3,\quad x<5. $$
Пересечение условий:
$$ x \in [3{,}75; 5). $$
г) Основание $$2-\sqrt{3}$$ лежит между $$0$$ и $$1$$, значит логарифмическая функция убывает. Тогда знак неравенства меняется:
$$ 4x+17 > 25-5x. $$
Решаем:
$$ 4x+17 > 25-5x \\ 9x > 8 \\ x > \frac{8}{9}. $$
Область определения:
$$ 4x+17>0,\quad 25-5x>0 $$
$$ x>-\frac{17}{4},\quad x<5. $$
Пересечение условий:
$$ x \in \left(\frac{8}{9}; 5\right). $$