Упр.18.53 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Пусть $$y=\log_a(1-x).$$ Тогда первое неравенство принимает вид

$$y^2-2y-3\ge 0,$$

откуда

$$\left(y-3\right)\left(y+1\right)\ge 0,$$

значит,

$$y\le -1 \quad \text{или} \quad y\ge 3.$$

Рассмотрим второе неравенство:

$$\log_a^2(1-x)-3\ge 2\log_a(1-x).$$

После замены $$y=\log_a(1-x)$$ получаем то же условие, поэтому достаточно решить систему

$$\log_a(1-x)\le -1 \quad \text{или} \quad \log_a(1-x)\ge 3,$$

при этом $$1-x>0,$$ то есть $$x<1.$$

Нужно, чтобы хотя бы одно целое число из интервала $$(-\sqrt{51};\lg 0{,}1)$$ было решением. Так как

$$-\sqrt{51}\approx -7{,}14,\qquad \lg 0{,}1=-1,$$

то целые числа из этого интервала: $$-7,-6,-5,-4,-3,-2.$$

Рассмотрим случаи.

1) Если $$0<a<1,$$ то функция $$\log_a x$$ убывает, поэтому

$$\log_a(1-x)\le -1 \iff 1-x\ge a^{-1},$$

$$\log_a(1-x)\ge 3 \iff 1-x\le a^3.$$

Для существования целого решения из указанного интервала достаточно, чтобы

$$1-\frac1a\le -7,$$

откуда

$$\frac1a\ge 8,\qquad a\le \frac18.$$

2) Если $$a>1,$$ то функция $$\log_a x$$ возрастает, поэтому

$$\log_a(1-x)\le -1 \iff 1-x\le a^{-1},$$

$$\log_a(1-x)\ge 3 \iff 1-x\ge a^3.$$

Тогда для целого числа из интервала нужно, чтобы

$$1-a^3\ge -7,$$

то есть

$$a^3\le 8,\qquad a\le 2.$$

С учётом $$a>1$$ получаем $$1<a\le 2.$$

Объединяя оба случая, имеем

$$a\in \left[\frac18;1\right)\cup(1;2].$$

Ответ

$$a\in \left[\frac18;1\right)\cup(1;2].$$