Упр.18.52 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Пусть

$$u=\log_2|x-3|,\qquad v=\log_2|x-5|.$$

Тогда неравенство принимает вид

$$u^2-v^2+2u-2v-3>0,$$

или

$$\bigl(u-v+3\bigr)\bigl(u+v-1\bigr)>0.$$

Возвращаясь к переменным, получаем

$$\bigl(\log_2|x-3|-\log_2|x-5|+3\bigr)\bigl(\log_2|x-3|+\log_2|x-5|-1\bigr)>0.$$

Рассмотрим знаки множителей.

1) $$\log_2|x-5|+3>0,\qquad \log_2|x-3|-1>0.$$

Тогда

$$|x-5|>2^{-3}=\frac18,\qquad |x-3|>2.$$

Из второго неравенства:

$$x<1 \quad \text{или} \quad x>5.$$

Проверка первого условия даёт подходящие промежутки, и в итоге получаем

$$x<1 \quad \text{или} \quad x>\frac{39}{8}.$$

2) $$\log_2|x-5|+3<0,\qquad \log_2|x-3|-1<0.$$

Тогда

$$|x-5|<\frac18,\qquad |x-3|<2.$$

Отсюда

$$\frac{39}{8}<x<\frac{41}{8}.$$

С учётом области определения $$x\ne 3,\; x\ne 5$$ получаем итоговое множество решений:

$$x<1,\qquad \frac{39}{8}<x<\frac{41}{8},\qquad x>\frac{39}{8}.$$

Ответ

$$x<1,\ \frac{39}{8}<x<\frac{41}{8},\ x>\frac{39}{8}.$$