Упр.18.51 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

Преобразуем выражение, используя свойства логарифмов:

$$ \log_8 (x-3)^2 \cdot \log_{16} (x-5)^6 + \log_2 \frac{(x-3)^3}{x-5} — 3 > 0 $$
$$ \frac{2}{3}\log_2 |x-3| \cdot \frac{6}{4}\log_2 |x-5| + 3\log_2 (x-3) — \log_2 (x-5) — 3 > 0 $$
$$ \log_2 |x-3|\cdot \log_2 |x-5| + 3\log_2 |x-3| — \log_2 |x-5| — 3 > 0 $$
$$ \log_2 |x-3|\bigl(\log_2 |x-5|+3\bigr)-\bigl(\log_2 |x-5|+3\bigr)>0 $$
$$ \bigl(\log_2 |x-3|-1\bigr)\bigl(\log_2 |x-5|+3\bigr)>0. $$

Область определения:

$$ x-3 \ne 0,\quad x-5 \ne 0, $$
то есть
$$ x \ne 3,\quad x \ne 5. $$

Рассмотрим знаки множителей.

1) Первый множитель положителен:

$$ \log_2 |x-3|-1>0 $$
$$ \log_2 |x-3|>1 $$
$$ |x-3|>2 $$
$$ x<1 \quad \text{или} \quad x>5. $$

2) Второй множитель положителен:

$$ \log_2 |x-5|+3>0 $$
$$ \log_2 |x-5|>-3 $$
$$ |x-5|>\frac18 $$
$$ x<\frac{39}{8} \quad \text{или} \quad x>\frac{41}{8}. $$

Чтобы произведение было положительным, множители должны иметь одинаковые знаки. С учётом области определения получаем:

$$ x<1 \quad \text{или} \quad x>\frac{41}{8}. $$