Упр.18.49 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Пусть $$t=\log_2 x,$$ тогда $$x>0.$$ Неравенство принимает вид

$$\frac{\sqrt{5+4t-t^2}}{5+2t}\le \frac{\sqrt{5+4t-t^2}}{4+3t}.$$

Обозначим $$A=\sqrt{5+4t-t^2}\ge 0.$$ Тогда

$$\frac{A}{5+2t}\le \frac{A}{4+3t}.$$

Если $$A=0,$$ то

$$5+4t-t^2=0,$$

откуда

$$t^2-4t-5=0,$$

$$ (t+1)(t-5)=0,$$

$$t=-1 \text{ или } t=5.$$

Если $$A>0,$$ то можно сократить на $$A$$ и получить

$$\frac{1}{5+2t}\le \frac{1}{4+3t}.$$

Перенесём в одну сторону:

$$\frac{(4+3t)-(5+2t)}{(5+2t)(4+3t)}\le 0,$$

$$\frac{t-1}{(5+2t)(4+3t)}\le 0.$$

С учётом области определения:

$$5+4t-t^2\ge 0,$$

$$5+2t\ne 0,\quad 4+3t\ne 0,$$

получаем

$$-1\le t\le 5,$$

а из неравенства

$$\frac{t-1}{(5+2t)(4+3t)}\le 0$$

подходит только

$$-1\le t\le 1.$$

Также отдельно подходит значение $$t=5.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$-1\le \log_2 x\le 1 \;\Rightarrow\; \frac12\le x\le 2,$$

$$\log_2 x=5 \;\Rightarrow\; x=32.$$

Целые решения: $$x=1,2,32.$$ Их количество равно $$3.$$

Ответ

3