Упр.18.48 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

а) Рассмотрим неравенство

$$\log_2(5-x) > \log_{0,5}x — 6.$$

Так как $$\log_{0,5}x=-\log_2 x,$$ получаем

$$\log_2(5-x)+\log_2 x+6>0,$$

$$\log_2\bigl(x(5-x)\bigr)+6>0,$$

$$\log_2\bigl(x(5-x)\bigr)>-6.$$

Область определения:

$$5-x>0,\quad x>0,$$

$$0<x<5.$$

Проверим целые значения из этой области: $$x=1,2,3,4.$$

Для них

$$\log_2\bigl(x(5-x)\bigr)+6>0,$$

то есть все эти значения подходят. Тогда сумма целых решений равна

$$S=1+2+3+4=10.$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\frac{41x-4x^2-100}{\log_{100}(x-3)}\le 0.$$

Числитель разложим на множители:

$$41x-4x^2-100=-(4x^2-41x+100)=-(4x-25)(x-4).$$

Тогда

$$\frac{-(4x-25)(x-4)}{\log_{100}(x-3)}\le 0.$$

Найдём нули числителя:

$$x=4,\quad x=\frac{25}{4}=6,25.$$

Область определения и знак знаменателя:

$$x-3>0,\quad \log_{100}(x-3)\ne 0,$$

$$x>3,\quad x\ne 4.$$

Так как основание $$100>1,$$ то

$$\log_{100}(x-3)<0 \text{ при } 3<x<4,$$

$$\log_{100}(x-3)>0 \text{ при } x>4.$$

Исследование знаков показывает, что неравенство выполняется при

$$x\ge 6,25.$$

Наименьшее целое решение: $$x=7.$$

Ответ

а) $$10$$; б) $$7$$.