Упр.18.47 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите неравенство: а)(log5(2x-3)-lg(2x-3))/(lgx-log20(x)) больше или равно log5(20); б)((log4(2-x)-log6(2-x))/(log6(x)-log9(x)) меньше или равно log(49).

а) Рассмотрим неравенство

$$\frac{\log_5(2x-3)-\lg(2x-3)}{\lg x-\log_{20}x}\ge \log_5 20.$$

Преобразуем логарифмы:

$$\log_5(2x-3)=\frac{\lg(2x-3)}{\lg 5}, \qquad \log_{20}x=\frac{\lg x}{\lg 20}.$$

Тогда

$$\frac{\frac{\lg(2x-3)}{\lg 5}-\lg(2x-3)}{\lg x-\frac{\lg x}{\lg 20}}\ge \frac{\lg 20}{\lg 5}.$$

Вынесем общие множители:

$$\frac{\lg(2x-3)\left(\frac{1}{\lg 5}-1\right)}{\lg x\left(1-\frac{1}{\lg 20}\right)}\ge \frac{\lg 20}{\lg 5}.$$

После упрощения получаем равносильное неравенство

$$\frac{\lg(2x-3)}{\lg x}\ge 1.$$

Область определения:

$$2x-3>0,\quad x>0,$$

откуда $$x>\frac32.$$

Решим неравенство:

$$\frac{\lg(2x-3)}{\lg x}\ge 1 \iff \log_x(2x-3)\ge 1.$$

Рассмотрим случаи:

• если $$x>1,$$ то $$2x-3\ge x,$$ откуда $$x\ge 3;$$
• если $$0<x<1,$$ то из области определения решений нет.

Значит,

$$x\in[3;+\infty).$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\frac{\log_4(2-x)-\log_6(2-x)}{\log_6 x-\log_9 x}\le \log_4 9.$$

Преобразуем логарифмы:

$$\log_4(2-x)=\frac{\log_6(2-x)}{\log_6 4},\qquad \log_9 x=\frac{\log_6 x}{\log_6 9}.$$

Тогда

$$\frac{\frac{\log_6(2-x)}{\log_6 4}-\log_6(2-x)}{\log_6 x-\frac{\log_6 x}{\log_6 9}}\le \frac{\log_6 9}{\log_6 4}.$$

После упрощения получаем

$$\frac{\log_6(2-x)}{\log_6 x}\le 1,$$

то есть

$$\log_x(2-x)\le 1.$$

Область определения:

$$2-x>0,\quad x>0,\quad x\ne 1,$$

значит

$$0<x<2,\quad x\ne 1.$$

Решим неравенство по случаям:

• если $$0<x<1,$$ то $$x\le 2-x,$$ откуда $$2x\le 2,$$ значит $$x\le 1;$$
• если $$x>1,$$ то $$x\ge 2-x,$$ откуда $$2x\ge 2,$$ значит $$x\ge 1.$$

С учётом ОДЗ получаем

$$x\in(0;1)\cup(1;2).$$

Ответ

а) $$x\in[3;+\infty).$$ б) $$x\in(0;1)\cup(1;2).$$