Упр.18.46 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 18.46 а)log(5x-4×2)(4^-x) > 0;б)log(-5×2-6x)(6x) > 0.

Рассмотрим неравенство

$$\log_{5x-4x^2}(4^{-x})>0.$$

Для логарифма нужно, чтобы

$$5x-4x^2>0,\quad 5x-4x^2\ne 1,\quad 4^{-x}>0.$$

Так как $$4^{-x}>0$$ при всех $$x,$$ то знак логарифма определяется основанием:

• если $$5x-4x^2>1,$$ то $$\log_{5x-4x^2}(4^{-x})>0 \iff 4^{-x}>1;$$
• если $$0<5x-4x^2<1,$$ то $$\log_{5x-4x^2}(4^{-x})>0 \iff 0<4^{-x}<1.$$

1) Пусть $$5x-4x^2>1.$$ Тогда

$$5x-4x^2>1 \iff 4x^2-5x+1<0 \iff (4x-1)(x-1)<0,$$

откуда

$$\frac14<x<1.$$

Но при этом должно быть $$4^{-x}>1,$$ а это возможно только при $$x<0.$$ Совместных решений нет.

2) Пусть $$0<5x-4x^2<1.$$ Тогда

$$0<5x-4x^2<1 \iff 0<4x^2-5x+1 \text{ и } 5x-4x^2>0.$$

Из условия $$4^{-x}<1$$ получаем $$x>0.$$

Решим неравенство

$$4x^2-5x+1>0 \iff (4x-1)(x-1)>0,$$

откуда

$$x<\frac14 \quad \text{или} \quad x>1.$$

С учётом $$0<5x-4x^2$$ получаем

$$0<x<\frac14 \quad \text{или} \quad 1<x<\frac54.$$

Пересечение с условием $$x>0$$ не меняет ответ.

Ответ

а) $$x\in\left(0;\frac14\right)\cup\left(1;\frac54\right).$$

б) $$x\in\left(-\frac65;-1\right)\cup\left(-\frac15;0\right).$$