Упр.18.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 18.45 а)log 0,5(log2(log1/3(1/x))) > 0; б)log2(log1/3((3x-1)/(x+1))) > 0; в)log0,2(log 0,3(log 0,4(1/(x+1))) < 0; г)log1/2(log8((x2-2x)/(x-3))) < 0.

1. а) $$\log_{0,5}\!\left(\log_2\!\left(\log_{1/3}\frac1x\right)\right)>0$$

   Так как $$0<0,5<1,$$ то

   $$\log_2\!\left(\log_{1/3}\frac1x\right)<1.$$

   При этом область определения задаётся условиями

   $$\log_{1/3}\frac1x>0,\qquad \frac1x>0.$$

   Из $$\log_{1/3}\frac1x>0$$ получаем

   $$0<\frac1x<1 \;\Rightarrow\; x>1.$$

   Решаем неравенство:

   $$\log_2\!\left(\log_{1/3}\frac1x\right)<1 \;\Rightarrow\; \log_{1/3}\frac1x<2.$$

   Так как основание $$\frac13<1,$$ знак меняется:

   $$\frac1x>\left(\frac13\right)^2=\frac19 \;\Rightarrow\; x<9.$$

   С учётом ОДЗ:

   $$x\in(1;9).$$

2. б) $$\log_2\!\left(\log_{1/3}\frac{3x-1}{x+1}\right)>0$$

   Так как $$2>1,$$ то

   $$\log_{1/3}\frac{3x-1}{x+1}>1.$$

   Так как $$\frac13<1,$$ получаем

   $$\frac{3x-1}{x+1}<\frac13.$$

   Решим неравенство:

   $$\frac{3x-1}{x+1}-\frac13<0$$

   $$\frac{9x-3-x-1}{3(x+1)}<0$$

   $$\frac{8x-4}{3(x+1)}<0$$

   $$\frac{2x-1}{x+1}<0.$$

   ОДЗ:

   $$\frac{3x-1}{x+1}>0.$$

   Отсюда

   $$x<-1 \quad \text{или} \quad x>\frac13.$$

   По знакам дроби $$\frac{2x-1}{x+1}<0$$ получаем

   $$-1<x<\frac12.$$

   Пересечение с ОДЗ даёт

   $$x\in\left(\frac13;\frac12\right).$$

3. в) $$\log_{0,2}\!\left(\log_{0,3}\!\left(\log_{0,4}\frac1{x+1}\right)\right)<0$$

   Так как $$0<0,2<1,$$ то

   $$\log_{0,3}\!\left(\log_{0,4}\frac1{x+1}\right)>1.$$

   Так как $$0<0,3<1,$$ получаем

   $$\log_{0,4}\frac1{x+1}<0,3.$$

   Так как $$0<0,4<1,$$ то

   $$\frac1{x+1}>0,4^{0,3}.$$

   Отсюда

   $$x+1<\frac1{0,4^{0,3}}=2,5^{0,3},$$

   то есть

   $$x<2,5^{0,3}-1.$$

   ОДЗ:

   $$0<\frac1{x+1}<1 \;\Rightarrow\; x>0.$$

   Итак,

   $$x\in\left(0;\,2,5^{0,3}-1\right).$$

4. г) $$\log_{1/2}\!\left(\log_8\frac{x^2-2x}{x-3}\right)<0$$

   Так как $$0<\frac12<1,$$ то

   $$\log_8\frac{x^2-2x}{x-3}>1.$$

   Поскольку $$8>1,$$ имеем

   $$\frac{x^2-2x}{x-3}>8.$$

   Перенесём всё в одну дробь:

   $$\frac{x^2-2x-8(x-3)}{x-3}>0$$

   $$\frac{x^2-10x+24}{x-3}>0$$

   $$\frac{(x-4)(x-6)}{x-3}>0.$$

   Решение этого неравенства даёт

   $$3<x<4 \quad \text{или} \quad x>6.$$

   ОДЗ:

   $$\frac{x^2-2x}{x-3}>0$$

   $$\frac{x(x-2)}{x-3}>0,$$

   откуда

   $$0<x<2 \quad \text{или} \quad x>3.$$

   Пересечение с найденным решением:

   $$x\in(3;4)\cup(6;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in(1;9);$$ б) $$x\in\left(\frac13;\frac12\right);$$ в) $$x\in\left(0;\,2,5^{0,3}-1\right);$$ г) $$x\in(3;4)\cup(6;+\infty).$$