Упр.18.44 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 18.44 а)(4×2 — 16x+7)log2(x-3) > 0; б)log0,3(x-1)/корень (5x-x2) меньше или равно 0.

а) Рассмотрим произведение $$\left(4x^2-16x+7\right)\log_2(x-3)>0.$$

Найдём нули первого множителя:

$$4x^2-16x+7=0,$$
$$D=(-16)^2-4\cdot 4\cdot 7=256-112=144,$$
$$x_{1,2}=\frac{16\pm 12}{8}.$$

Отсюда

$$x_1=\frac{4}{8}=\frac12,\qquad x_2=\frac{28}{8}=\frac72.$$

Значит,

$$4x^2-16x+7>0 \text{ при } x<\frac12 \text{ и } x>\frac72,$$
$$4x^2-16x+7<0 \text{ при } \frac12<x<\frac72.$$

Область определения логарифма:

$$x-3>0,\quad x>3.$$

Теперь рассмотрим знак логарифма:

$$\log_2(x-3)>0 \iff x-3>1 \iff x>4,$$
$$\log_2(x-3)<0 \iff 0<x-3<1 \iff 3<x<4.$$

Произведение положительно, когда множители одного знака:

$$\frac12<x<\frac72 \text{ и } 3<x<4 \;\Rightarrow\; 3<x<\frac72,$$
$$x>\frac72 \text{ и } x>4 \;\Rightarrow\; x>4.$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\frac{\log_{0,3}(x-1)}{\sqrt{5x-x^2}}\le 0.$$

Так как знаменатель должен быть положительным, получаем область определения:

$$5x-x^2>0,$$
$$x(5-x)>0,$$
$$0<x<5.$$

На этой области знаменатель положителен, значит дробь не превосходит нуля тогда и только тогда, когда

$$\log_{0,3}(x-1)\le 0.$$

Так как основание $$0,3<1,$$ то

$$\log_{0,3}(x-1)\le 0 \iff x-1\ge 1 \iff x\ge 2.$$

Пересекаем с областью определения:

$$x\in [2;5).$$

Ответ

а) $$x\in \left(3;\frac72\right)\cup(4;+\infty);$$

б) $$x\in [2;5).$$