Упр.18.43 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите неравенство: 18.43 а)(4x-1)log2(x) больше или равно 0; б)(x+2)log 1,5(4-x) больше или равно 0.

а) Рассмотрим произведение $$ (4x-1)\log_2 x \ge 0. $$

Область определения: $$x>0.$$

Нули множителей:

$$4x-1=0 \Rightarrow x=\frac14,$$

$$\log_2 x=0 \Rightarrow x=1.$$

Исследуем знаки множителей на промежутках, учитывая, что при $$0<x<1$$ имеем $$\log_2 x<0,$$ а при $$x>1$$ — $$\log_2 x>0.$$

Тогда произведение неотрицательно при:

$$0<x\le \frac14 \quad \text{или} \quad x\ge 1.$$

б) Рассмотрим неравенство

$$ (x+2)\log_{1,5}(4-x)\ge 0. $$

Область определения: $$4-x>0,$$ то есть $$x<4.$$

Нули множителей:

$$x+2=0 \Rightarrow x=-2,$$

$$\log_{1,5}(4-x)=0 \Rightarrow 4-x=1 \Rightarrow x=3.$$

Так как основание $$1{,}5>1,$$ то:

при $$4-x>1$$, то есть $$x<3,$$ имеем $$\log_{1,5}(4-x)>0,$$

при $$0<4-x<1$$, то есть $$3<x<4,$$ имеем $$\log_{1,5}(4-x)<0.$$

Проверяем знаки произведения на промежутках и получаем:

$$-2\le x\le 3.$$

Ответ

а) $$x\in\left(0;\frac14\right]\cup[1;+\infty);$$ б) $$x\in[-2;3].$$