Упр.18.42 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 18.42 а) система log 0,1(x2-12) < log 0,1(-x), 2(x-1) > 1/8; б)система 3(x2-5x-4) < 9, log1/5x2+3) больше или равно lg1/5(4x).

а)

Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} \log_{0,1}(x^2-12) < \log_{0,1}(-x),\\ 2^{x-1} > \dfrac18. \end{cases} $$

Так как основание логарифма $$0,1<1,$$ то при сравнении логарифмов знак неравенства меняется:

$$ x^2-12 > -x, $$
$$ x^2+x-12 > 0, $$
$$ (x+4)(x-3) > 0. $$
Отсюда
$$ x<-4 \quad \text{или} \quad x>3. $$

Второе неравенство:

$$ 2^{x-1} > \frac18 = 2^{-3}, $$
$$ x-1 > -3, $$
$$ x>-2. $$

Область определения первого логарифма:

$$ x^2-12>0,\qquad -x>0, $$
$$ x<-2\sqrt3. $$

Пересечение условий:

$$ (x<-4 \ \text{или}\ x>3)\cap (x>-2)\cap (x<-2\sqrt3)=\varnothing. $$

б)

Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} 3^{x^2-5x-4} < 9,\\ \log_{1/5}(x^2+3) \ge \log_{1/5}(4x). \end{cases} $$

Первое неравенство:

$$ 3^{x^2-5x-4} < 3^2, $$
$$ x^2-5x-4 < 2, $$
$$ x^2-5x-6 < 0, $$
$$ (x+1)(x-6) < 0. $$
Отсюда
$$ -1<x<6. $$

Второе неравенство: так как $$\frac15<1,$$ знак неравенства меняется:

$$ x^2+3 \le 4x, $$
$$ x^2-4x+3 \le 0, $$
$$ (x-1)(x-3)\le 0. $$
Отсюда
$$ 1\le x\le 3. $$

Область определения логарифмов:

$$ x^2+3>0,\qquad 4x>0 \Rightarrow x>0. $$

Пересечение всех условий:

$$ (-1,6)\cap [1,3]\cap (0,+\infty)=[1,3]. $$

Ответ

а) $$\varnothing$$; б) $$[1;3]$$.