Упр.18.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 18.41 а)система log3(x2) > log3(125)-log3(5), log 0,2(x-1) < 0; б)система log1/2(x2) больше или равно log1/2(28)- log1/2(7), log3(4x-1) > 0.

1. Решим первое неравенство системы:

   $$\log_3 x^2 > \log_3 125 — \log_3 5$$

   $$\log_3 x^2 > \log_3 \frac{125}{5} = \log_3 25$$

   Так как основание $$3 > 1$$, получаем:

   $$x^2 > 25$$

   $$x < -5 \text{ или } x > 5$$

2. Решим второе неравенство:

   $$\log_{0,2}(x-1) < 0$$

   Так как $$0<0,2<1$$, логарифмическая функция убывает, значит:

   $$x-1 > 1$$

   $$x > 2$$

3. Пересечём решения:

   $$\left(x < -5 \text{ или } x > 5\right) \cap \left(x > 2\right) = x > 5$$

Ответ: $$x \in (5; +\infty)$$

Ход решения

1. Решим первое неравенство системы:

   $$\log_{\frac12} x^2 \ge \log_{\frac12} 28 — \log_{\frac12} 7$$

   $$\log_{\frac12} x^2 \ge \log_{\frac12} \frac{28}{7} = \log_{\frac12} 4$$

   Так как основание $$\frac12$$ лежит между $$0$$ и $$1$$, логарифмическая функция убывает, поэтому знак неравенства меняется:

   $$x^2 \le 4$$

   $$-2 \le x \le 2$$

2. Решим второе неравенство:

   $$\log_3(4x-1) > 0$$

   Так как $$3>1$$, получаем:

   $$4x-1 > 1$$

   $$4x > 2$$

   $$x > 0,5$$

3. Пересечём решения:

   $$[-2; 2] \cap (0,5; +\infty) = (0,5; 2]$$

Ответ: $$x \in (0,5; 2]$$