Упр.18.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите систему неравенств: 18.40 а)система log 0,2(2x+3) < log 0,2(x-2), log 6(3x-1) меньше или равно log 6(9x+4); б) система log7(6x-1) меньше или равно log7(9x+11), log 0,5(3-x) < log 0,5(4x-1).
а)
$$ \begin{cases} \log_{0,2}(2x+3) < \log_{0,2}(x-2),\\ \log_{6}(3x-1) \le \log_{6}(9x+4). \end{cases} $$
Так как $$0<0,2<1,$$ то при сравнении логарифмов знак неравенства меняется:
$$ 2x+3 > x-2 \;\Rightarrow\; x>-5. $$
Но для первого неравенства нужна область определения:
$$ 2x+3>0,\quad x-2>0 \;\Rightarrow\; x>{2}. $$
Во втором неравенстве основание $$6>1,$$ значит знак неравенства сохраняется:
$$ 3x-1 \le 9x+4 \;\Rightarrow\; -5 \le 6x \;\Rightarrow\; x \ge -\frac{5}{6}. $$
Область определения второго неравенства:
$$ 3x-1>0,\quad 9x+4>0 \;\Rightarrow\; x>\frac13. $$
Пересекаем все условия:
$$ x>2. $$
б)
$$ \begin{cases} \log_{7}(6x-1) \le \log_{7}(9x+11),\\ \log_{0,5}(3-x) < \log_{0,5}(4x-1). \end{cases} $$
Так как $$7>1,$$ то знак неравенства сохраняется:
$$ 6x-1 \le 9x+11 \;\Rightarrow\; -12 \le 3x \;\Rightarrow\; x \ge -4. $$
Область определения первого неравенства:
$$ 6x-1>0,\quad 9x+11>0 \;\Rightarrow\; x>\frac16. $$
Во втором неравенстве основание $$0,5$$ лежит между $$0$$ и $$1,$$ поэтому знак меняется:
$$ 3-x > 4x-1 \;\Rightarrow\; 4>5x \;\Rightarrow\; x<\frac45. $$
Область определения второго неравенства:
$$ 3-x>0,\quad 4x-1>0 \;\Rightarrow\; x<3,\quad x>\frac14. $$
Пересекаем все условия:
$$ \frac14<x<\frac45. $$
Ответ
а) $$x\in(2;+\infty)$$;
б) $$x\in\left(\frac14;\frac45\right).$$
