Упр.18.39 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 18.39. a) log x(2) * log2x(2) * log2(4x) > 1; 6) log x(5) * log5x(5) * log5(625x) < 1.

а) Обозначим $$y=\log_2 x.$$ Тогда

$$ \log_x 2=\frac{1}{\log_2 x}=\frac{1}{y},\qquad \log_{2x}2=\frac{1}{\log_2(2x)}=\frac{1}{1+y},\qquad \log_2(4x)=2+\log_2 x=2+y. $$

Получаем неравенство

$$ \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{1+y}\cdot (2+y)>1. $$

С учётом ОДЗ: $$x>0,\ x\ne 1,\ x\ne \frac12,$$ то есть $$y\ne 0,\ y\ne -1.$$ Преобразуем:

$$ \frac{2+y}{y(1+y)}-1>0 $$
$$ \frac{2+y-y-y^2}{y(1+y)}>0 $$
$$ \frac{2-y^2}{y(1+y)}>0 $$
$$ \frac{(\sqrt2-y)(\sqrt2+y)}{y(1+y)}>0. $$

Решая методом интервалов, получаем:

$$ -\sqrt2<y<-1 \quad \text{или} \quad 0<y<\sqrt2. $$

Возвращаясь к переменной $$x$$:

$$ -\sqrt2<\log_2 x<-1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2^{\sqrt2}}<x<\frac12, $$
$$ 0<\log_2 x<\sqrt2 \quad \Rightarrow \quad 1<x<2^{\sqrt2}. $$

б) Обозначим $$y=\log_5 x.$$ Тогда

$$ \log_x 5=\frac{1}{y},\qquad \log_{5x}5=\frac{1}{1+y},\qquad \log_5(625x)=4+\log_5 x=4+y. $$

Получаем неравенство

$$ \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{1+y}\cdot (4+y)<1. $$

С учётом ОДЗ: $$x>0,\ x\ne 1,\ x\ne \frac15,$$ то есть $$y\ne 0,\ y\ne -1.$$ Преобразуем:

$$ \frac{4+y}{y(1+y)}-1<0 $$
$$ \frac{4+y-y-y^2}{y(1+y)}<0 $$
$$ \frac{4-y^2}{y(1+y)}<0 $$
$$ \frac{(2-y)(2+y)}{y(1+y)}<0. $$

Метод интервалов даёт:

$$ y<-2 \quad \text{или} \quad -1<y<0 \quad \text{или} \quad y>2. $$

Переходим к $$x$$:

$$ \log_5 x<-2 \Rightarrow 0<x<\frac{1}{25}, $$
$$ -1<\log_5 x<0 \Rightarrow \frac15<x<1, $$
$$ \log_5 x>2 \Rightarrow x>25. $$

Ответ

а) $$x\in\left(\frac{1}{2^{\sqrt2}},\frac12\right)\cup\left(1,2^{\sqrt2}\right);$$
б) $$x\in\left(0,\frac{1}{25}\right)\cup\left(\frac15,1\right)\cup(25,+\infty).$$