Упр.18.38 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

а) Область определения: $$-x>0,$$ то есть $$x<0.$$

Преобразуем неравенство:

$$\log_3 x^2+\log_3^2(-x)<2.$$

Так как при $$x<0$$ имеем $$x^2=(-x)^2,$$ то

$$\log_3(-x)+\log_3^2(-x)<2.$$

Пусть $$y=\log_3(-x).$$ Тогда получаем:

$$y^2+y-2<0.$$

Разложим на множители:

$$ (y+2)(y-1)<0.$$

Отсюда

$$-2<y<1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$-2<\log_3(-x)<1.$$

Так как основание логарифма $$3>1,$$ получаем систему:

$$ \begin{cases} \log_3(-x)>-2,\\ \log_3(-x)<1. \end{cases} $$

Тогда

$$ \begin{cases} -x>3^{-2}=\dfrac{1}{9},\\ -x<3^1=3. \end{cases} $$

Следовательно,

$$-3<x<-\dfrac{1}{9}.$$

б) Область определения: $$-x>0,$$ то есть $$x<0.$$

Преобразуем неравенство:

$$\log_4 x^2+\log_2^2(-x)>6.$$

Так как $$x<0,$$ то $$x^2=(-x)^2,$$ а значит

$$\log_2(-x)+\log_2^2(-x)>6.$$

Пусть $$y=\log_2(-x).$$ Тогда

$$y^2+y-6>0.$$

Разложим на множители:

$$ (y+3)(y-2)>0.$$

Отсюда

$$y<-3 \quad \text{или} \quad y>2.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$ \begin{cases} \log_2(-x)<-3,\\ \log_2(-x)>2. \end{cases} $$

Тогда

$$ \begin{cases} -x<2^{-3}=\dfrac{1}{8},\\ -x>2^2=4. \end{cases} $$

Следовательно,

$$x>-\dfrac{1}{8} \quad \text{или} \quad x<-4.$$

Ответ

а) $$x\in\left(-3;\,-\dfrac{1}{9}\right);$$ б) $$x\in(-\infty;\,-4)\cup\left(-\dfrac{1}{8};\,+\infty\right).$$