Упр.18.37 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 18.37. a) log4 (x + 12) * log x(2) меньше или равно 1; б) 1 + log x(5) * log7(x) > log5(35) * log x(5).

а) Рассмотрим неравенство

$$\log_4(x+12)\cdot \log_x 2 \le 1.$$

Область определения:

$$x+12>0,\quad x>0,\quad x\ne 1.$$

Преобразуем логарифм:

$$\log_x 2=\frac{\log_4 2}{\log_4 x}=\frac{1}{2\log_4 x}.$$

Тогда

$$\log_4(x+12)\cdot \frac{1}{2\log_4 x}\le 1,$$

откуда

$$\log_4(x+12)\le 2\log_4 x.$$

Рассмотрим два случая.

1) Если $$0<x<1,$$ то функция $$\log_4 x$$ отрицательна, и после перехода к показательной форме получаем

$$x+12\ge x^2.$$

Тогда

$$x^2-x-12\le 0,$$

$$ (x-4)(x+3)\le 0,$$

$$-3\le x\le 4.$$

С учётом $$0<x<1$$ получаем $$0<x<1.$$

2) Если $$x>1,$$ то $$\log_4 x>0,$$ и

$$x+12\le x^2.$$

Тогда

$$x^2-x-12\ge 0,$$

$$ (x-4)(x+3)\ge 0,$$

откуда с учётом $$x>1$$ имеем $$x\ge 4.$$

Итак,

$$x\in (0;1)\cup [4;+\infty).$$

б) Рассмотрим неравенство

$$1+\log_x 5\cdot \log_7 x>\log_5 35\cdot \log_x 5.$$

Область определения:

$$x>0,\quad x\ne 1.$$

Переходим к натуральным логарифмам:

$$1+\frac{\ln 5}{\ln x}\cdot \frac{\ln x}{\ln 7} > \frac{\ln 35}{\ln 5}\cdot \frac{\ln 5}{\ln x}.$$

Упрощаем:

$$1+\frac{\ln 5}{\ln 7} > \frac{\ln 35}{\ln x}.$$

Так как $$\ln 35=\ln 5+\ln 7,$$ то

$$\frac{\ln 7+\ln 5}{\ln 7} > \frac{\ln 7+\ln 5}{\ln x}.$$

Поскольку $$\ln 7+\ln 5>0,$$ получаем

$$\frac{1}{\ln 7} > \frac{1}{\ln x}.$$

Приведём к одной дроби:

$$\frac{\ln x-\ln 7}{\ln 7\cdot \ln x}>0.$$

Рассмотрим знаки:

• если $$0<x<1,$$ то $$\ln x<0,$$ и неравенство выполняется;
• если $$x>1,$$ то нужно $$\ln x>\ln 7,$$ то есть $$x>7.$$

Следовательно,

$$x\in (0;1)\cup (7;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in (0;1)\cup [4;+\infty);$$ б) $$x\in (0;1)\cup (7;+\infty).$$