Упр.18.36 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 18.36. a) log2(x) +1 больше или равно 2 log x (2); 6) 2log x(5) — 3 < -log5(x).

а) Обозначим $$y=\log_2 x.$$ Тогда область определения: $$x>0,\quad x\ne 1,$$ то есть $$y\ne 0.$$

Имеем:

$$\log_2 x+1\ge 2\log_x 2.$$

Так как $$\log_x 2=\dfrac{1}{\log_2 x}=\dfrac{1}{y},$$ получаем

$$y+1\ge \frac{2}{y}.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$y+1-\frac{2}{y}\ge 0,$$

$$\frac{y^2+y-2}{y}\ge 0,$$

$$\frac{(y+2)(y-1)}{y}\ge 0.$$

Исследуем знак дроби. Критические точки: $$y=-2,\; y=0,\; y=1.$$

Получаем:

$$y\in[-2,0)\cup[1,+\infty).$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, имеем:

$$-2\le \log_2 x<0 \quad \Rightarrow \quad \frac14\le x<1,$$

$$\log_2 x\ge 1 \quad \Rightarrow \quad x\ge 2.$$

Следовательно,

$$x\in\left[\frac14,1\right)\cup[2,+\infty).$$

б) Обозначим $$y=\log_5 x.$$ Тогда $$x>0,\quad x\ne 1,$$ то есть $$y\ne 0.$$

Преобразуем неравенство:

$$2\log_x 5-3\le -\log_5 x.$$

Так как $$\log_x 5=\dfrac{1}{\log_5 x}=\dfrac{1}{y},$$ получаем

$$\frac{2}{y}-3\le -y,$$

$$\frac{y^2-3y+2}{y}\le 0,$$

$$\frac{(y-1)(y-2)}{y}\le 0.$$

Критические точки: $$y=0,\; y=1,\; y=2.$$ По знакам дроби:

$$y\in(0,1]\cup[2,+\infty).$$

Возвращаясь к $$x$$, получаем:

$$0<\log_5 x\le 1 \quad \Rightarrow \quad 1<x\le 5,$$

$$\log_5 x\ge 2 \quad \Rightarrow \quad x\ge 25.$$

Итак,

$$x\in(1,5]\cup[25,+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in\left[\frac14,1\right)\cup[2,+\infty).$$

б) $$x\in(1,5]\cup[25,+\infty).$$