Упр.18.35 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 18.34 а)log1/2log1/3(1/27+2sinx/27) < -1; б)log3log4(96+64cosx) больше или равно 1

а) Пусть

$$t=\log_3\left(\frac{1+2\sin x}{27}\right).$$

Тогда неравенство принимает вид

$$\log_{\frac12} t<-1.$$

Так как основание $$\frac12<1,$$ то знак неравенства меняется:

$$t>\left(\frac12\right)^{-1}=2.$$

Получаем

$$\log_3\left(\frac{1+2\sin x}{27}\right)>2.$$

Так как основание $$3>1,$$ то

$$\frac{1+2\sin x}{27}>3^2=9,$$

$$1+2\sin x>243,$$

$$\sin x>121.$$

Это невозможно, значит, при таком чтении выражения решений нет. Однако по изображению видно, что в учебнике записано

$$\log_{\frac12}\log_{\frac13}\left(\frac{1+2\sin x}{27}\right)<-1,$$

и тогда

$$\log_{\frac13}\left(\frac{1+2\sin x}{27}\right)>2,$$

$$\frac{1+2\sin x}{27}<\frac19,$$

$$1+2\sin x<3,$$

$$\sin x<1.$$

Область определения:

$$\frac{1+2\sin x}{27}>0,$$

$$1+2\sin x>0,$$

$$\sin x>-\frac12.$$

Итак,

$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,$$

и с учётом $$\sin x\neq 1$$ исключаем точки

$$x\neq \frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

Значит,

$$x\in\left(-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Пусть

$$t=\log_4(96+64\cos x).$$

Тогда

$$\log_3 t\ge 1.$$

Так как основание $$3>1,$$ то

$$t\ge 3,$$

то есть

$$\log_4(96+64\cos x)\ge 3.$$

Так как основание $$4>1,$$ получаем

$$96+64\cos x\ge 4^3=64,$$

$$64\cos x\ge -32,$$

$$\cos x\ge -\frac12.$$

Область определения:

$$96+64\cos x>0,$$

$$\cos x>-\frac32,$$

что выполняется при всех $$x\in\mathbb R.$$

Следовательно,

$$x\in\left[-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in\left(-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x\in\left[-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z.$$