Упр.18.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 18.35 а)log(x2-3)(729) > 3; б)log(10-x2)(16/5*x — x2) < 1; в)log((x-1)/(x+5))(0,3) > 0; г)log(4-x)(x2-10) < 2.

1. $$\log_{x^2-3}729>3$$
   
   Так как $$729=3^6,$$ то при основании $$x^2-3>1$$ получаем:
   $$x^2-3<729^{\frac13}=9.$$
   Тогда
   $$x^2<12,$$
   $$-2\sqrt3<x<2\sqrt3.$$
   При $$0<x^2-3<1$$ знак неравенства меняется:
   $$x^2-3>1,$$
   $$x^2>4,$$
   $$x<-2 \text{ или } x>2.$$
   С учётом области определения:
   $$x\in(-2\sqrt3;-2)\cup(2;2\sqrt3).$$
2. $$\log_{10-x^2}\left(\frac{16}{5}x-x^2\right)<1$$
   
   Для логарифма нужно:
   $$10-x^2>0,\qquad 10-x^2\neq1,$$
   $$\frac{16}{5}x-x^2>0.$$
   То есть
   $$x^2<10,\qquad x\in\left(0;\frac{16}{5}\right).$$
   Рассмотрим два случая.
   
   1) Если $$0<10-x^2<1,$$ то
   $$\frac{16}{5}x-x^2>10-x^2,$$
   $$\frac{16}{5}x>10,$$
   $$x>\frac{25}{8}.$$
   С учётом ОДЗ:
   $$x\in\left(\frac{25}{8};\sqrt{10}\right).$$
   
   2) Если $$10-x^2>1,$$ то
   $$\frac{16}{5}x-x^2<10-x^2,$$
   $$\frac{16}{5}x<10,$$
   $$x<\frac{25}{8}.$$
   С учётом ОДЗ:
   $$x\in\left(0;\frac{25}{8}\right).$$
   Объединяя, получаем:
   $$x\in(0;\sqrt{10}).$$
3. $$\log_{\frac{x-1}{x+5}}0{,}3>0$$
   
   Для основания логарифма:
   $$\frac{x-1}{x+5}>0,\qquad \frac{x-1}{x+5}\neq1.$$
   Так как $$0<0{,}3<1,$$ то при основании $$0<\frac{x-1}{x+5}<1$$ неравенство выполняется.
   Решаем:
   $$\frac{x-1}{x+5}>0 \;\Rightarrow\; x<-5 \text{ или } x>1.$$
   Условие $$\frac{x-1}{x+5}<1$$ даёт:
   $$\frac{x-1}{x+5}-1<0,$$
   $$\frac{-6}{x+5}<0,$$
   $$x>-5.$$
   Пересечение условий:
   $$x>1.$$
4. $$\log_{4-x}(x^2-10)<2$$
   
   Для основания:
   $$4-x>0,\qquad 4-x\neq1,$$
   то есть
   $$x<4,\qquad x\neq3.$$
   Для аргумента:
   $$x^2-10>0,$$
   $$x<-\sqrt{10}\text{ или }x>\sqrt{10}.$$
   Рассмотрим случаи.
   
   1) Если $$0<4-x<1,$$ то
   $$x^2-10>(4-x)^2,$$
   $$x^2-10>16-8x+x^2,$$
   $$8x>26,$$
   $$x>\frac{13}{4}.$$
   С учётом ОДЗ:
   $$x\in\left(\frac{13}{4};4\right).$$
   
   2) Если $$4-x>1,$$ то
   $$x^2-10<(4-x)^2,$$
   $$x^2-10<16-8x+x^2,$$
   $$8x<26,$$
   $$x<\frac{13}{4}.$$
   С учётом ОДЗ:
   $$x\in(-\infty;-\sqrt{10})\cup(\sqrt{10};\tfrac{13}{4}).$$
   Объединяя, получаем:
   $$x\in(-\infty;-\sqrt{10})\cup(\sqrt{10};4).$$

Ответ

а) $$x\in(-2\sqrt3;-2)\cup(2;2\sqrt3)$$;
б) $$x\in(0;\sqrt{10})$$;
в) $$x>1$$;
г) $$x\in(-\infty;-\sqrt{10})\cup(\sqrt{10};4)$$.