Упр.18.33 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 18.33. a) log cosx(корень 3/2) больше или равно 1; в) log sinx (1/2) больше или равно 1; 6) log sinx(1) меньше или равно 2; г) log cosx(1/2) меньше или равно 2.

а) $$\log_{\cos x}\frac{\sqrt{3}}{2}\ge 1.$$

Так как основание логарифма должно удовлетворять условиям $$\cos x>0,\quad \cos x\ne 1,$$ то при $$0<\cos x<1$$ знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\le \cos x.$$

Тогда

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\le \cos x<1.$$

Отсюда

$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{6}+2\pi n,$$

но точки $$x=2\pi n$$ исключаются, так как при них $$\cos x=1.$$

Значит,

$$x\in\left[-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,2\pi n\right)\cup\left(2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\log_{\sin x}1\le 2.$$

Область определения: $$\sin x>0,\quad \sin x\ne 1.$$

Так как $$1=(\sin x)^0,$$ то

$$\log_{\sin x}1=0.$$

Следовательно, неравенство выполняется при всех допустимых $$x.$$

При $$0<\sin x<1$$ получаем

$$2\pi n<x<\pi+2\pi n,$$

а точка $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ исключается.

Итак,

$$x\in(2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n)\cup\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$\log_{\sin x}\frac12\ge 1.$$

Для существования логарифма нужно $$\sin x>0,\quad \sin x\ne 1.$$

При $$0<\sin x<1$$ знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:

$$\frac12\le \sin x.$$

Значит,

$$\frac12\le \sin x<1.$$

Отсюда

$$\frac{\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$

но точка $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ исключается, так как $$\sin x=1.$$

Следовательно,

$$x\in\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$\log_{\cos x}\frac12\le 2.$$

Область определения: $$\cos x>0,\quad \cos x\ne 1.$$

При $$0<\cos x<1$$ знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:

$$\frac12\ge (\cos x)^2.$$

То есть

$$\cos^2 x\le \frac12,$$

откуда

$$0<\cos x\le \frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$\frac{\pi}{4}+2\pi n\le x\le \frac{7\pi}{4}+2\pi n,$$

с учетом условия $$\cos x>0$$ получаем

$$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,-\frac{\pi}{4}+2\pi n\right]\cup\left[\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$ \begin{aligned} &\text{а) } x\in\left[-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,2\pi n\right)\cup\left(2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z;\\ &\text{б) } x\in(2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n)\cup\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;\\ &\text{в) } x\in\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z;\\ &\text{г) } x\in\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,-\frac{\pi}{4}+2\pi n\right]\cup\left[\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z. \end{aligned} $$