Упр.18.32 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 18.32. a) lo(x-2)(2x — 3) > log(x-2)(24 — 6x); 6) log(2x-1)(3x — 5) < log(2x-1) (15 - 7x).

Подробный ответ

а) $$\log_{x-2}(2x-3)>\log_{x-2}(24-6x)$$
Для основания логарифма нужно:
$$x-2>0,\quad x-2\ne 1$$
то есть $$x>2,\quad x\ne 3.$$
Также аргументы логарифмов должны быть положительными:
$$2x-3>0,\quad 24-6x>0$$
откуда
$$x>\frac32,\quad x<4.$$
Рассмотрим два случая.
1) Если $$2<x<3,$$ то основание $$x-2$$ лежит между $$0$$ и $$1$$, значит знак неравенства меняется:
$$2x-3<24-6x$$
$$8x<27$$
$$x<\frac{27}{8}.$$
С учётом $$2<x<3$$ получаем:
$$x\in\left(2;\frac{27}{8}\right).$$
2) Если $$x>3,$$ то основание $$x-2>1$$, знак неравенства сохраняется:
$$2x-3>24-6x$$
$$8x>27$$
$$x>\frac{27}{8}.$$
С учётом $$x>3$$ и $$x<4$$ получаем:
$$x\in\left(\frac{27}{8};4\right).$$
б) $$\log_{2x-1}(3x-5)<\log_{2x-1}(15-7x)$$
Для основания логарифма нужно:
$$2x-1>0,\quad 2x-1\ne 1$$
то есть
$$x>\frac12,\quad x\ne 1.$$
Аргументы логарифмов должны быть положительными:
$$3x-5>0,\quad 15-7x>0$$
откуда
$$x>\frac53,\quad x<\frac{15}{7}.$$
Так как при $$x>1$$ основание $$2x-1>1,$$ знак неравенства сохраняется:
$$3x-5<15-7x$$
$$10x<20$$
$$x<2.$$
С учётом ОДЗ получаем:
$$x\in\left(\frac53;2\right).$$