Упр.18.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 18.31. a) log x(корень (21 — 4x)) > 1; 6) logx((x+3)/(x-1)) > 1.

а) Рассмотрим неравенство $$\log_x \sqrt{21-4x}>1.$$

Область определения:

$$21-4x>0,\quad x>0,\quad x\ne 1.$$

То есть $$x<\frac{21}{4},\quad x>0,\quad x\ne 1.$$

Рассмотрим два случая.

1) Если $$0<x<1,$$ то функция $$\log_x t$$ убывает, поэтому

$$\log_x \sqrt{21-4x}>1 \iff \sqrt{21-4x}<x.$$

Но при $$0<x<1$$ правая часть меньше 1, а левая неотрицательна; после возведения в квадрат получаем

$$21-4x<x^2,$$

$$x^2+4x-21>0,$$

$$ (x+7)(x-3)>0.$$

Отсюда $$x<-7$$ или $$x>3,$$ что не подходит при $$0<x<1.$$

Решений в этом случае нет.

2) Если $$x>1,$$ то функция $$\log_x t$$ возрастает, значит

$$\log_x \sqrt{21-4x}>1 \iff \sqrt{21-4x}>x.$$

Тогда

$$21-4x>x^2,$$

$$x^2+4x-21<0,$$

$$ (x+7)(x-3)<0.$$

Отсюда $$-7<x<3.$$ С учётом условия $$x>1$$ получаем

$$1<x<3.$$

б) Рассмотрим неравенство $$\log_x \frac{x+3}{x-1}>1.$$

Область определения:

$$\frac{x+3}{x-1}>0,\quad x>0,\quad x\ne 1.$$

Из $$\frac{x+3}{x-1}>0$$ получаем $$x<-3$$ или $$x>1.$$ С учётом $$x>0$$ остаётся $$x>1.$$

При $$x>1$$ логарифмическая функция возрастает, поэтому

$$\log_x \frac{x+3}{x-1}>1 \iff \frac{x+3}{x-1}>x.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x+3-x(x-1)}{x-1}>0,$$

$$\frac{-x^2+2x+3}{x-1}>0,$$

$$\frac{-(x-3)(x+1)}{x-1}>0,$$

$$\frac{(x-3)(x+1)}{x-1}<0.$$

Так как $$x>1,$$ то знаменатель положителен, и остаётся

$$ (x-3)(x+1)<0.$$

Отсюда $$-1<x<3.$$ С учётом $$x>1$$ получаем

$$1<x<3.$$

Ответ

а) $$x\in(1;3).$$ б) $$x\in(1;3).$$