Упр.18.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 18.30. a) log(3x-1)16 < 2; 6) log(x-2)(27) < 3.

а) $$\log_{3x-1}16<2$$

Для логарифма основание должно удовлетворять условиям:

$$3x-1>0,\quad 3x-1\ne 1.$$

Рассмотрим два случая.

1) Если $$0<3x-1<1,$$ то функция $$\log_{3x-1} t$$ убывает, поэтому

$$16>(3x-1)^2.$$

Тогда

$$ 16>(3x-1)^2 \\ (3x-1)^2-16<0 \\ (3x-5)(3x+3)<0 $$

Отсюда

$$-1<x<\frac53.$$

С учётом $$0<3x-1<1$$ получаем

$$\frac13<x<\frac23.$$

2) Если $$3x-1>1,$$ то функция $$\log_{3x-1} t$$ возрастает, значит

$$16<(3x-1)^2.$$

Тогда

$$ (3x-1)^2-16>0 \\ (3x-5)(3x+3)>0 $$

Отсюда

$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>\frac53.$$

С учётом $$3x-1>1$$ остаётся

$$x>\frac23.$$

Итак,

$$x\in\left(\frac13;\frac23\right)\cup\left(\frac53;+\infty\right).$$

б) $$\log_{x-2}27<3$$

Область определения:

$$x-2>0,\quad x-2\ne 1.$$

Рассмотрим два случая.

1) Если $$0<x-2<1,$$ то логарифмическая функция убывает, поэтому

$$27>(x-2)^3.$$

Так как $$27=3^3,$$ получаем

$$x-2<3,$$

то есть

$$2<x<5.$$

2) Если $$x-2>1,$$ то функция возрастает, значит

$$27<(x-2)^3.$$

Отсюда

$$x-2>3,$$

то есть

$$x>5.$$

Итак,

$$x\in(2;3)\cup(5;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in\left(\frac13;\frac23\right)\cup\left(\frac53;+\infty\right);$$ б) $$x\in(2;3)\cup(5;+\infty).$$