Упр.18.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите неравенство: 18.29. a) log(5x-1)(2) меньше или равно 0; в) log(2-3x)(5) > 0; 6) log(3x+4)(0,2) > 0; г) log(5-x)(0,3) меньше или равно 0.

1. а) $$\log_{5x-1} 2 \le 0$$

   Так как $$2>1$$, то для логарифма с основанием $$a>1$$ неравенство $$\log_a 2 \le 0$$ невозможно, а при $$0<a<1$$ оно выполняется, если $$2\ge 1$$, что верно. Поэтому нужно учесть область определения:

   $$5x-1>0,\quad 5x-1\ne 1.$$

   Для основания $$0<5x-1<1$$ получаем:

   $$ 0<5x-1<1 \\ 1<5x<2 \\ 0{,}2<x<0{,}4 $$

2. б) $$\log_{3x+4} 0{,}2>0$$

   Так как $$0<0{,}2<1$$, то для положительного логарифма основание должно удовлетворять $$0<3x+4<1$$:

   $$ 0<3x+4<1 \\ -4<3x<-3 \\ -\frac{4}{3}<x<-1 $$

3. в) $$\log_{2-3x} 5>0$$

   Так как $$5>1$$, то для положительного логарифма нужно $$2-3x>1$$:

   $$ 2-3x>1 \\ -3x>-1 \\ x<\frac{1}{3} $$

4. г) $$\log_{5-x} 0{,}3\le 0$$

   Так как $$0<0{,}3<1$$, то неравенство выполняется при $$5-x>1$$:

   $$ 5-x>1 \\ x<4 $$

Ответ

а) $$x\in(0{,}2;\,0{,}4)$$;
б) $$x\in\left(-\frac{4}{3};\,-1\right)$$;
в) $$x\in\left(-\infty;\,\frac{1}{3}\right)$$;
г) $$x\in(-\infty;\,4)$$.