Упр.18.28 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 18.28. Найдите наибольшее целое решение неравенства: а) log4( корень x — l) + log1/4(корень x + l) < log1/4(корень x + 2); б) log Пи(корень 3 стеени x - 5) + log 1/пи(корень 3 степени x + 1) < logj - - log Пи(корень 3 степени x + 1).

Подробный ответ

а) Область определения:

$$ \sqrt{x}-1>0 \;\Rightarrow\; x>1. $$

Преобразуем неравенство:

$$ \log_4(\sqrt{x}-1)+\log_{\frac14}(\sqrt{x}+1)<\log_{\frac14}(\sqrt{x}+2) $$
$$ \log_4(\sqrt{x}-1)-\log_4(\sqrt{x}+1)<\log_4\frac{1}{\sqrt{x}+2} $$
$$ \log_4\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}<\log_4\frac{1}{\sqrt{x}+2}. $$

Так как основание логарифма больше 1, получаем:

$$ \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}<\frac{1}{\sqrt{x}+2}. $$

Перемножим крест-накрест (знаменатели положительны на ОДЗ):

$$ (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+2)<\sqrt{x}+1 $$
$$ x+\sqrt{x}-2<\sqrt{x}+1 $$
$$ x-3<0 $$
$$ x<3. $$

С учётом ОДЗ:

$$ 1<x<3. $$

Наибольшее целое решение: $$x=2$$.

б) Область определения:

$$ \sqrt[3]{x}-5>0 \;\Rightarrow\; x>125. $$

Преобразуем неравенство:

$$ \log_{\pi}(\sqrt[3]{x}-5)+\log_{\frac1\pi}(\sqrt[3]{x}+1)<\log_{\frac1\pi}3-\log_{\pi}(\sqrt[3]{x}+1) $$
$$ \log_{\pi}(\sqrt[3]{x}-5)-\log_{\pi}(\sqrt[3]{x}+1)<\log_{\pi}3-\log_{\pi}(\sqrt[3]{x}+1) $$
$$ \log_{\pi}(\sqrt[3]{x}-5)<\log_{\pi}3. $$

Так как основание логарифма больше 1, то

$$ \sqrt[3]{x}-5<3 $$
$$ \sqrt[3]{x}<8 $$
$$ x<512. $$

С учётом ОДЗ:

$$ 125<x<512. $$

Наибольшее целое решение: $$x=511$$.