Упр.18.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 18.27. Найдите наибольшее целое решение неравенства: а)2log5(корень(12-x)+1) > log1/5(1/(15-x); б)2log0,5(корень (2x+1))- log 0,5(4-x) < log2(3^(1/2-log4(2))).

а) Рассмотрим неравенство

$$2\log_5(\sqrt{12-x}+1)>\log_{\frac15}\frac1{15-x}.$$

Преобразуем правую часть:

$$\log_{\frac15}\frac1{15-x}=\log_5(15-x),$$

так как $$\frac1{15-x}=(15-x)^{-1}$$ и $$\log_{\frac15}a=-\log_5 a.$$

Тогда

$$2\log_5(\sqrt{12-x}+1)>\log_5(15-x),$$

$$\log_5(\sqrt{12-x}+1)^2>\log_5(15-x).$$

Так как основание $$5>1,$$ получаем

$$\left(\sqrt{12-x}+1\right)^2>15-x.$$

Раскроем скобки:

$$12-x+2\sqrt{12-x}+1>15-x,$$

$$2\sqrt{12-x}>2,$$

$$\sqrt{12-x}>1,$$

$$12-x>1,$$

$$x<11.$$

Область определения:

$$12-x\ge 0,\qquad 15-x>0,$$

откуда

$$x\le 12,\qquad x<15.$$

С учётом ОДЗ и решения неравенства получаем $$x<11.$$ Наибольшее целое решение:

$$10.$$

б) Рассмотрим неравенство

$$2\log_{0,5}\sqrt{2x+1}-\log_{0,5}(4-x)<\log_2\left(3^{\frac12-\log_4 2}\right).$$

Так как $$\log_4 2=\frac12,$$ то

$$3^{\frac12-\log_4 2}=3^0=1,$$

и правая часть равна

$$\log_2 1=0.$$

Тогда

$$2\log_{0,5}\sqrt{2x+1}-\log_{0,5}(4-x)<0.$$

Используем свойства логарифмов:

$$2\log_{0,5}\sqrt{2x+1}=\log_{0,5}(2x+1),$$

поэтому

$$\log_{0,5}(2x+1)-\log_{0,5}(4-x)<0,$$

$$\log_{0,5}\frac{2x+1}{4-x}<0.$$

Так как основание $$0,5<1,$$ то логарифм меньше нуля, когда его аргумент больше $$1$$:

$$\frac{2x+1}{4-x}>1.$$

Решим:

$$2x+1>4-x,$$

$$3x>3,$$

$$x>1.$$

Область определения:

$$2x+1>0,\qquad 4-x>0,$$

то есть

$$x>-\frac12,\qquad x<4.$$

Итак, $$1<x<4.$$ Наибольшее целое решение:

$$3.$$

Ответ

а) $$10$$; б) $$3$$.