Упр.18.26 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 18.26 Сколько целочисленных решений имеет неравенство: а) log2 (1/(6-x)) < log0,5(х2); б) 0,25 log корень 4 степени 3(x + 6) меньше или равно log3(6 - х2); в) 0,5 log корень 2(х2 - 6х + 24) меньше или равно log8(2x + 9)3; г) log3(-x2+10x/9)^-1 + log1/3(9) больше или равно 0?

1. а) $$\log_2\frac{1}{6-x}\le \log_{0,5}x^2.$$

   Так как $$\log_{0,5}x^2=-\log_2x^2,$$ получаем

   $$ \log_2\frac{1}{6-x}\le -\log_2x^2 \\ \log_2\frac{1}{6-x}+\log_2x^2\le 0 \\ \log_2\frac{x^2}{6-x}\le 0. $$

   При основании $$2>1$$ это равносильно

   $$ \frac{x^2}{6-x}\le 1 \\ x^2\le 6-x \\ x^2+x-6\le 0 \\ (x+3)(x-2)\le 0. $$

   Отсюда $$-3\le x\le 2.$$

   ОДЗ: $$x^2>0,\; 6-x>0,$$ то есть $$x\ne 0,\; x<6.$$

   Целые решения: $$-3,-2,-1,1,2.$$ Их $$5$$.

2. б) $$0{,}25\log_{\sqrt[4]{3}}(x+6)\le \log_3(6-x^2).$$

   Так как $$0{,}25=\frac14$$ и $$\log_{\sqrt[4]{3}}(x+6)=4\log_3(x+6),$$ то

   $$ \log_3(x+6)\le \log_3(6-x^2). $$

   При основании $$3>1$$ получаем

   $$ x+6\le 6-x^2 \\ x^2+x\le 0 \\ x(x+1)\le 0. $$

   Отсюда $$-1\le x\le 0.$$

   ОДЗ: $$x+6>0,\; 6-x^2>0,$$ то есть $$x>-6,\; -\sqrt6<x<\sqrt6.$$

   Целые решения: $$-1,0.$$ Их $$2$$.

3. в) $$0{,}5\log_{\sqrt2}(x^2-6x+24)\le \log_8(2x+9)^3.$$

   Так как $$0{,}5\log_{\sqrt2}A=\log_2A,$$ а $$\log_8(2x+9)^3=\log_2(2x+9),$$ то

   $$ \log_2(x^2-6x+24)\le \log_2(2x+9). $$

   При основании $$2>1$$ получаем

   $$ x^2-6x+24\le 2x+9 \\ x^2-8x+15\le 0 \\ (x-3)(x-5)\le 0. $$

   Отсюда $$3\le x\le 5.$$

   ОДЗ: $$x^2-6x+24>0,\; 2x+9>0.$$ Первое неравенство выполняется при всех $$x$$, второе даёт $$x>-\frac92.$$

   Целые решения: $$3,4,5.$$ Их $$3$$.

4. г) $$\log_3\left(-x^2+\frac{10x}{9}\right)^{-1}+\log_{\frac13}9\ge 0.$$

   Так как $$\log_{\frac13}9=-2,$$ а

   $$ \log_3\left(-x^2+\frac{10x}{9}\right)^{-1} = -\log_3\left(-x^2+\frac{10x}{9}\right), $$

   то

   $$ -\log_3\left(-x^2+\frac{10x}{9}\right)-2\ge 0 \\ \log_3\left(-x^2+\frac{10x}{9}\right)\le -2 \\ \log_3\left(-x^2+\frac{10x}{9}\right)\le \log_3\frac19. $$

   При основании $$3>1$$ получаем

   $$ -x^2+\frac{10x}{9}\le \frac19 \\ -9x^2+10x\le 1 \\ 9x^2-10x+1\ge 0 \\ (9x-1)(x-1)\ge 0. $$

   Отсюда $$x\le \frac19$$ или $$x\ge 1.$$

   ОДЗ: $$-x^2+\frac{10x}{9}>0,$$ то есть

   $$ x\left(\frac{10}{9}-x\right)>0 \\ 0<x<\frac{10}{9}. $$

   Пересечение даёт $$0<x\le \frac19$$ и $$1\le x<\frac{10}{9}.$$ Целое решение только одно: $$x=1.$$

Ответ

а) $$5$$; б) $$2$$; в) $$3$$; г) $$1$$.