Упр.18.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 18.25. a) -1/4log 1/корень 7 (7х + 5) больше или равно log49(3x — 1); б) 3log 8 (2x — 1) — 2 log 0,25 (x + 2) меньше или равно 0,5 log корень 2(3); в) log корень 5(корень 10+x) + log 0,2 (2x — 4) > 0; г) 3/2log 7 корень 7(4x + 17) — log7 (25 — 5x) < log 1/7(0,5).

1. а)

   $$-\frac14\log_{\frac1{\sqrt7}}(7x+5)\ge \log_{49}(3x-1)$$

   Так как $$\frac1{\sqrt7}=7^{-\frac12}$$ и $$49=7^2,$$ то

   $$-\frac14\log_{7^{-\frac12}}(7x+5)=\frac12\log_7(7x+5), \qquad \log_{49}(3x-1)=\frac12\log_7(3x-1).$$

   Тогда
   $$\log_7(7x+5)\ge \log_7(3x-1).$$

   При $$x>\frac13$$ получаем
   $$7x+5\ge 3x-1,$$
   $$4x\ge -6,$$
   $$x\ge -\frac32.$$

   С учётом ОДЗ $$x>\frac13$$:
   $$x\in\left(\frac13;+\infty\right).$$

2. б)

   $$3\log_8(2x-1)-2\log_{0,25}(x+2)\le 0,5\log_{\sqrt2}3$$

   Перейдём к основанию $$2$$:
   $$\log_8(2x-1)=\frac13\log_2(2x-1),$$
   $$\log_{0,25}(x+2)=\log_{2^{-2}}(x+2)=-\frac12\log_2(x+2),$$
   $$0,5\log_{\sqrt2}3=\log_2 3.$$

   Тогда
   $$\log_2(2x-1)+\log_2(x+2)\le \log_2 3,$$
   $$\log_2\bigl((2x-1)(x+2)\bigr)\le \log_2 3,$$
   $$(2x-1)(x+2)\le 3.$$

   $$2x^2+3x-2\le 3,$$
   $$2x^2+3x-5\le 0.$$

   Корни уравнения $$2x^2+3x-5=0$$:
   $$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-5)=49,$$
   $$x_1=\frac{-3-7}{4}=-\frac52,\qquad x_2=\frac{-3+7}{4}=1.$$

   Значит,
   $$-\frac52\le x\le 1.$$

   С учётом ОДЗ:
   $$2x-1>0,\quad x+2>0,$$
   $$x>\frac12.$$

   Итак,
   $$x\in\left(\frac12;1\right].$$

3. в)

   $$\log_{\sqrt5}\sqrt{10+x}+\log_{0,2}(2x-4)>0$$

   Так как $$0,2=\frac15,$$ то
   $$\log_{\sqrt5}\sqrt{10+x}-\log_5(2x-4)>0.$$

   Приведём первый логарифм к основанию $$5$$:
   $$\log_{\sqrt5}\sqrt{10+x}=\log_5(10+x).$$

   Тогда
   $$\log_5(10+x)-\log_5(2x-4)>0,$$
   $$\log_5\frac{10+x}{2x-4}>0.$$

   Так как основание $$5>1,$$ получаем
   $$\frac{10+x}{2x-4}>1,$$
   $$\frac{14-x}{2x-4}>0.$$

   Отсюда
   $$2<x<14.$$

   С учётом ОДЗ $$10+x>0,\;2x-4>0,$$ окончательно:
   $$x\in(2;14).$$

4. г)

   $$\frac32\log_{7\sqrt7}(4x+17)-\log_7(25-5x)<\log_{\frac17}0,5$$

   Так как $$7\sqrt7=7^{3/2},$$ то
   $$\frac32\log_{7\sqrt7}(4x+17)=\log_7(4x+17).$$

   Кроме того,
   $$\log_{\frac17}0,5=\log_7 2.$$

   Тогда
   $$\log_7(4x+17)-\log_7(25-5x)<\log_7 2,$$
   $$\log_7\frac{4x+17}{25-5x}<\log_7 2,$$
   $$\frac{4x+17}{25-5x}<2.$$

   $$4x+17<50-10x,$$
   $$14x<33,$$
   $$x<\frac{33}{14}.$$

   С учётом ОДЗ:
   $$4x+17>0,\quad 25-5x>0,$$
   $$x>-\frac{17}{4},\quad x<5.$$

   Итак,
   $$x\in\left(-\frac{17}{4};\frac{33}{14}\right).$$

Ответ

а) $$x\in\left(\frac13;+\infty\right);$$
б) $$x\in\left(\frac12;1\right];$$
в) $$x\in(2;14);$$
г) $$x\in\left(-\frac{17}{4};\frac{33}{14}\right).$$