Упр.18.24 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 18.24. а) log1/3(13 + х) < 2 log1/3 (корень (x + 1) + 2); б) 2 log12 (корень(х + 5) + 1) < log12 (х + 10).

а) Рассмотрим неравенство

$$\log_{\frac13}(13+x)<2\log_{\frac13}(\sqrt{x+1}+2).$$

Так как $$2\log_{\frac13}(\sqrt{x+1}+2)=\log_{\frac13}\bigl(\sqrt{x+1}+2\bigr)^2,$$ а основание $$\frac13<1,$$ то при переходе к аргументам знак неравенства меняется:

$$13+x>\bigl(\sqrt{x+1}+2\bigr)^2.$$

Раскроем квадрат:

$$13+x>x+1+4\sqrt{x+1}+4,$$

$$8>4\sqrt{x+1},$$

$$2>\sqrt{x+1},$$

$$x+1<4,$$

$$x<3.$$

Теперь учтём область определения:

$$13+x>0,\qquad x+1\ge 0,$$

$$x>-13,\qquad x\ge -1.$$

Следовательно, $$x\in[-1;3).$$

б) Рассмотрим неравенство

$$2\log_{12}(\sqrt{x+5}+1)<\log_{12}(x+10).$$

Так как $$2\log_{12}(\sqrt{x+5}+1)=\log_{12}\bigl(\sqrt{x+5}+1\bigr)^2,$$ а основание $$12>1,$$ то получаем:

$$\bigl(\sqrt{x+5}+1\bigr)^2<x+10.$$

Раскроем скобки:

$$x+5+2\sqrt{x+5}+1<x+10,$$

$$2\sqrt{x+5}<4,$$

$$\sqrt{x+5}<2,$$

$$x+5<4,$$

$$x<-1.$$

Учитываем область определения:

$$x+10>0,\qquad x+5\ge 0,$$

$$x>-10,\qquad x\ge -5.$$

Тогда

$$x\in[-5;-1).$$

Ответ

а) $$x\in[-1;3)$$; б) $$x\in[-5;-1).$$