Упр.18.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите неравенство: 18.23 а)2log корень 2(2)+log корень 2(2(x2-1)-1/4) < log корень 2(31); log 1/корень 3(3(x2-4)-1/9)+2log1/корень 3(3) больше или равно log1/корень 3 80.

а) $$2\log_{\sqrt{2}}2+\log_{\sqrt{2}}\left(2^{x^2-1}-\frac14\right)<\log_{\sqrt{2}}31$$

$$2\log_{\sqrt{2}}2=\log_{\sqrt{2}}4,$$

тогда

$$\log_{\sqrt{2}}4+\log_{\sqrt{2}}\left(2^{x^2-1}-\frac14\right)<\log_{\sqrt{2}}31,$$

$$\log_{\sqrt{2}}\left(4\left(2^{x^2-1}-\frac14\right)\right)<\log_{\sqrt{2}}31,$$

$$\log_{\sqrt{2}}\left(2^{x^2+1}-1\right)<\log_{\sqrt{2}}31.$$

Так как основание $$\sqrt{2}>1,$$ получаем

$$2^{x^2+1}-1<31,$$

$$2^{x^2+1}<32=2^5,$$

$$x^2+1<5,$$

$$x^2<4,$$

$$-2<x<2.$$

Проверим область определения:

$$2^{x^2-1}-\frac14>0.$$

Так как $$2^{x^2-1}\ge 2^{-1}=\frac12,$$ то ОДЗ выполняется при всех $$x\in\mathbb R.$$

б) $$\log_{\frac1{\sqrt3}}\left(3^{x^2-4}-\frac19\right)+2\log_{\frac1{\sqrt3}}3\ge \log_{\frac1{\sqrt3}}80$$

$$2\log_{\frac1{\sqrt3}}3=\log_{\frac1{\sqrt3}}9,$$

поэтому

$$\log_{\frac1{\sqrt3}}\left(3^{x^2-4}-\frac19\right)+\log_{\frac1{\sqrt3}}9\ge \log_{\frac1{\sqrt3}}80,$$

$$\log_{\frac1{\sqrt3}}\left(9\left(3^{x^2-4}-\frac19\right)\right)\ge \log_{\frac1{\sqrt3}}80,$$

$$\log_{\frac1{\sqrt3}}\left(3^{x^2-2}-1\right)\ge \log_{\frac1{\sqrt3}}80.$$

Так как $$0<\frac1{\sqrt3}<1,$$ знак неравенства при переходе к аргументам меняется:

$$3^{x^2-2}-1\le 80,$$

$$3^{x^2-2}\le 81=3^4,$$

$$x^2-2\le 4,$$

$$x^2\le 6,$$

$$-\sqrt6\le x\le \sqrt6.$$

Проверим ОДЗ:

$$3^{x^2-4}-\frac19>0,$$

$$3^{x^2-4}>\frac19=3^{-2},$$

$$x^2-4>-2,$$

$$x^2>2,$$

$$x<-\sqrt2 \quad \text{или} \quad x>\sqrt2.$$

Пересекаем с найденным промежутком:

$$x\in[-\sqrt6;-\sqrt2)\cup(\sqrt2;\sqrt6].$$

Ответ

а) $$x\in(-2;2).$$ б) $$x\in[-\sqrt6;-\sqrt2)\cup(\sqrt2;\sqrt6].$$