Упр.18.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

Пусть $$t=\log_2 x.$$ Тогда область определения: $$x>0,\quad t\ne 0,\quad t\ne 4.$$
Имеем
$$\frac{1}{t-4}>\frac{1}{t}$$
$$\frac{t-(t-4)}{t(t-4)}>0$$
$$\frac{4}{t(t-4)}>0.$$
Так как числитель положителен, то
$$t(t-4)>0.$$
Отсюда $$t<0$$ или $$t>4.$$
Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:
$$\log_2 x<0 \Rightarrow 0<x<1,$$
$$\log_2 x>4 \Rightarrow x>16.$$
Пусть $$t=\lg x.$$ Тогда $$x>0,\quad t\ne 1,\quad t\ne -1.$$
Решаем неравенство
$$\frac{1}{1-t}<\frac{2t-5}{1+t}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(1+t)-(2t-5)(1-t)}{(1-t)(1+t)}<0.$$
$$\frac{2t^2-6t+6}{(1-t)(1+t)}<0.$$
Числитель:
$$2t^2-6t+6=2(t^2-3t+3).$$
Так как $$t^2-3t+3>0$$ при всех $$t$$, то числитель всегда положителен. Значит, нужно, чтобы
$$ (1-t)(1+t)<0,$$
то есть
$$t<-1 \quad \text{или} \quad t>1.$$
Переходим к $$x$$:
$$\lg x<-1 \Rightarrow 0<x<0{,}1,$$
$$\lg x>1 \Rightarrow x>10.$$
Пусть $$t=\lg x.$$ Тогда $$x>0,\quad t\ne -1,\quad t\ne -2.$$
Имеем
$$\frac{4}{1+t}-\frac{5}{2+t}\ge 0.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{4(2+t)-5(1+t)}{(1+t)(2+t)}\ge 0,$$
$$\frac{3-t}{(1+t)(2+t)}\ge 0,$$
$$\frac{t-3}{(t+1)(t+2)}\le 0.$$
По методу интервалов получаем:
$$t<-2 \quad \text{или} \quad -1<t\le 3.$$
Возвращаясь к $$x$$:
$$\lg x<-2 \Rightarrow 0<x<0{,}01,$$
$$-1<\lg x\le 3 \Rightarrow 0{,}1<x\le 1000.$$
Пусть $$t=\log_2 x.$$ Тогда $$x>0,\quad t\ne -1.$$
Решаем неравенство
$$2+\frac{t^2}{1+t}>t.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{2(1+t)+t^2-t(1+t)}{1+t}>0,$$
$$\frac{t^2+t+2}{1+t}>0.$$
Числитель всегда положителен, так как
$$t^2+t+2>0.$$
Значит,
$$1+t>0,$$
то есть
$$t>-1.$$
Следовательно,
$$\log_2 x>-1 \Rightarrow x>\frac12.$$
С учётом области определения $$x>0$$ получаем:
$$0<x<\frac14 \quad \text{или} \quad x>\frac12.$$