Упр.18.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 18.21 а)(1-log4(x))/(1+2log4(x)) меньше или равно 1/2; б)(3log0,5(x)/(2-log0,5(x)) больше или равно 2log0,5(x)+1; в)(log1/2(x)+2)(2-log1/2(x)) < log1/2(x3/64); г)(log0,2(x)+3)/(log0,2(x)-3) меньше или равно 1/3.

1. $$\frac{1-\log_4 x}{1+2\log_4 x}\le \frac12$$
   
   Перенесём всё в одну сторону:
   $$\frac{2(1-\log_4 x)-(1+2\log_4 x)}{2(1+2\log_4 x)}\le 0$$
   $$\frac{1-4\log_4 x}{2(1+2\log_4 x)}\le 0$$
   Обозначим $$t=\log_4 x$$. Тогда
   $$\frac{1-4t}{1+2t}\le 0.$$
   Критические точки:
   $$1-4t=0 \Rightarrow t=\frac14,$$
   $$1+2t=0 \Rightarrow t=-\frac12.$$
   По знакам дроби:
   $$t<-\frac12 \quad \text{или} \quad t\ge \frac14.$$ Возвращаемся к $$x$$: $$\log_4 x<-\frac12 \Rightarrow 0
2. $$\frac{3\log_{0,5}x}{2-\log_{0,5}x}\ge 2\log_{0,5}x+1$$
   
   Перенесём всё в одну сторону:
   $$\frac{3\log_{0,5}x-(2\log_{0,5}x+1)(2-\log_{0,5}x)}{2-\log_{0,5}x}\ge 0$$
   $$\frac{3\log_{0,5}x-4\log_{0,5}x+2\log_{0,5}^2x-2+\log_{0,5}x}{2-\log_{0,5}x}\ge 0$$
   $$\frac{2\log_{0,5}^2x-2}{2-\log_{0,5}x}\ge 0$$
   $$\frac{2(\log_{0,5}x-1)(\log_{0,5}x+1)}{2-\log_{0,5}x}\ge 0.$$
   Обозначим $$t=\log_{0,5}x$$. Тогда
   $$\frac{(t-1)(t+1)}{2-t}\ge 0.$$
   Критические точки:
   $$t=-1,\quad t=1,\quad t=2.$$
   По знакам получаем:
   $$-1\le t<1 \quad \text{или} \quad t\ge 2.$$ Так как основание $$0,5<1$$, знак неравенств при переходе к $$x$$ меняется: $$-1\le \log_{0,5}x<1 \Rightarrow \frac14
3. $$(\log_{1/2}x+2)(2-\log_{1/2}x)<\log_{1/2}\frac{x^3}{64}$$
   Раскроем скобки и преобразуем правую часть:
   $$4-\log_{1/2}^2x<\log_{1/2}x^3-\log_{1/2}64.$$ Так как $$\log_{1/2}x^3=3\log_{1/2}x,\qquad \log_{1/2}64=-6,$$ то $$4-\log_{1/2}^2x<3\log_{1/2}x+6.$$ Перенесём всё в одну сторону: $$\log_{1/2}^2x+3\log_{1/2}x+2>0.$$
   Обозначим $$y=\log_{1/2}x$$. Тогда
   $$y^2+3y+2>0,$$
   $$ (y+1)(y+2)>0.$$
   Отсюда
   $$y<-2 \quad \text{или} \quad y>-1.$$
   Возвращаемся к $$x$$:
   $$\log_{1/2}x<-2 \Rightarrow x>4,$$
   $$\log_{1/2}x>-1 \Rightarrow 0
4. $$\frac{\log_{0,2}x+3}{\log_{0,2}x-3}\le \frac13$$
   
   Перенесём всё в одну сторону:
   $$\frac{3(\log_{0,2}x+3)-(\log_{0,2}x-3)}{3(\log_{0,2}x-3)}\le 0$$
   $$\frac{2\log_{0,2}x+12}{3(\log_{0,2}x-3)}\le 0$$
   $$\frac{\log_{0,2}x+6}{\log_{0,2}x-3}\le 0.$$
   Обозначим $$t=\log_{0,2}x$$. Тогда
   $$\frac{t+6}{t-3}\le 0.$$
   Критические точки:
   $$t=-6,\quad t=3.$$
   По знакам:
   $$-6\le t<3.$$ Так как $$0,2=\frac15<1$$, при переходе к $$x$$ знак меняется: $$-6\le \log_{0,2}x<3 \Rightarrow \frac{1}{125}\le x<15625.$$

Ответ

а) $$x\in\left(0;\frac12\right)\cup[\sqrt2;+\infty)$$;
б) $$x\in\left(0;\frac12\right]$$;
в) $$x\in(0;2)\cup(4;+\infty)$$;
г) $$x\in\left[\frac{1}{125};15625\right).$$