Упр.18.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

а) Обозначим $$t=\log_2(5-x)$$. Тогда
$$\log_2^2(5-x)-2\log_2(5-x)^3+9\le 0$$
преобразуется к виду
$$t^2-6t+9\le 0,$$
то есть
$$\left(t-3\right)^2\le 0.$$
Отсюда $$t=3$$, значит
$$\log_2(5-x)=3,$$
$$5-x=8,$$
$$x=-3.$$
Проверка ОДЗ: $$5-x>0$$, при $$x=-3$$ условие выполняется.
б) Обозначим $$t=\log_{\frac12}(4-x)$$. Тогда
$$\log_{\frac12}^2(4-x)+5\log_{\frac12}(4-x)^2+25\le 0$$
преобразуется к виду
$$t^2+10t+25\le 0,$$
то есть
$$\left(t+5\right)^2\le 0.$$
Следовательно, $$t=-5$$, значит
$$\log_{\frac12}(4-x)=-5,$$
$$4-x=\left(\frac12\right)^{-5}=32,$$
$$x=-28.$$
Проверка ОДЗ: $$4-x>0$$, при $$x=-28$$ условие выполняется.
в) Перенесём всё в левую часть:
$$\log_{\frac13}^2(x-1)+\frac45\log_{\frac13}(x-1)^5+3\ge 0.$$
Так как $$\log_{\frac13}(x-1)^5=5\log_{\frac13}(x-1),$$ получаем
$$\log_{\frac13}^2(x-1)+4\log_{\frac13}(x-1)+3\ge 0.$$
Пусть $$y=\log_{\frac13}(x-1)$$. Тогда
$$y^2+4y+3\ge 0,$$
$$\left(y+3\right)\left(y+1\right)\ge 0.$$
Отсюда
$$y\le -3 \quad \text{или} \quad y\ge -1.$$
1) Если $$\log_{\frac13}(x-1)\le -3,$$ то
$$x-1\ge \left(\frac13\right)^{-3}=27,$$
$$x\ge 28.$$
2) Если $$\log_{\frac13}(x-1)\ge -1,$$ то
$$0<x-1\le \left(\frac13\right)^{-1}=3,$$
$$1<x\le 4.$$
г) Обозначим $$y=\log_3(x+5)$$. Тогда
$$\log_3^2(x+5)\le 0{,}5\log_3(x+5)^4+3$$
преобразуется к виду
$$y^2-2y-3\le 0.$$
Разложим на множители:
$$\left(y+1\right)\left(y-3\right)\le 0,$$
откуда
$$-1\le y\le 3.$$
Тогда
$$-1\le \log_3(x+5)\le 3.$$
Так как основание $$3>1$$, получаем систему:
$$\log_3(x+5)\ge -1 \Rightarrow x+5\ge \frac13 \Rightarrow x\ge -\frac{14}{3},$$
$$\log_3(x+5)\le 3 \Rightarrow 0<x+5\le 27 \Rightarrow -5<x\le 22.$$
Пересечение даёт
$$x\in \left[-\frac{14}{3};\,22\right].$$