Упр.18.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. $$2\log_{0,3}^2(x+1)-7\log_{0,3}(x+1)-4\le 0.$$
   Пусть $$y=\log_{0,3}(x+1)$$. Тогда получаем квадратное неравенство:
   $$ 2y^2-7y-4\le 0. $$
   Найдём корни:
   $$ D=49+32=81, $$
   $$ y_{1,2}=\frac{7\pm 9}{4},\quad y_1=-\frac12,\quad y_2=4. $$
   Значит,
   $$ -\frac12\le y\le 4. $$
   Так как $$0,3<1$$, логарифмическая функция убывает, поэтому: $$ \log_{0,3}(x+1)\ge -\frac12 \;\Rightarrow\; x+1\le 0,3^{-1/2}=\sqrt{\frac{10}{3}}, $$ $$ \log_{0,3}(x+1)\le 4 \;\Rightarrow\; x+1\ge 0,3^4=\frac{81}{10000}. $$ С учётом ОДЗ $$x+1>0$$ получаем: $$ x\in\left[\frac{81}{10000}-1,\ \sqrt{\frac{10}{3}}-1\right]. $$

2. $$3\log_4^2 x-7\log_4(16x)+30<0.$$
   Так как
   $$ \log_4(16x)=\log_4 16+\log_4 x=2+\log_4 x, $$
   то
   $$ 3\log_4^2 x-7(2+\log_4 x)+30<0, $$
   $$ 3\log_4^2 x-7\log_4 x+16<0. $$
   Пусть $$y=\log_4 x$$. Тогда
   $$ 3y^2-7y+16<0. $$
   Дискриминант:
   $$ D=49-192=-143<0. $$
   Следовательно, квадратный трёхчлен всегда положителен, решений нет.

3. $$3\log_{1/3}^2(2x+1)+5\log_{1/3}(2x+1)-2>0.$$
   Пусть $$y=\log_{1/3}(2x+1)$$. Тогда
   $$ 3y^2+5y-2>0. $$
   Найдём корни:
   $$ D=25+24=49, $$
   $$ y_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{6},\quad y_1=-2,\quad y_2=\frac13. $$
   Тогда
   $$ y<-2 \quad \text{или} \quad y>\frac13. $$
   Так как основание $$\frac13<1$$, функция убывает:
   $$ \log_{1/3}(2x+1)<-2 \;\Rightarrow\; 2x+1>\left(\frac13\right)^{-2}=9 \;\Rightarrow\; x>4, $$
   $$ \log_{1/3}(2x+1)>\frac13 \;\Rightarrow\; 0<2x+1<\left(\frac13\right)^{1/3}=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}. $$
   Отсюда
   $$ -\frac12<x<\frac{1}{2\sqrt[3]{3}}-\frac12. $$

4. $$\log_3^2 x+3\log_3 9x-24<0.$$
   Используем формулу
   $$ \log_3 9x=\log_3 9+\log_3 x=2+\log_3 x. $$
   Тогда
   $$ \log_3^2 x+3(2+\log_3 x)-24<0, $$
   $$ \log_3^2 x+3\log_3 x-18<0. $$
   Пусть $$y=\log_3 x$$. Получаем:
   $$ y^2+3y-18<0. $$
   Корни:
   $$ D=9+72=81, $$
   $$ y_{1,2}=\frac{-3\pm 9}{2},\quad y_1=-6,\quad y_2=3. $$
   Значит,
   $$ -6<y<3. $$
   Тогда
   $$ \log_3 x>-6 \;\Rightarrow\; x>3^{-6}=\frac{1}{729}, $$
   $$ \log_3 x<3 \;\Rightarrow\; x<27. $$
   Следовательно,
   $$ x\in\left(\frac{1}{729},\,27\right). $$

Ответ

а) $$x\in\left[\frac{81}{10000}-1,\ \sqrt{\frac{10}{3}}-1\right]$$;
б) $$\varnothing$$;
в) $$x\in\left(-\frac12,\ \frac{1}{2\sqrt[3]{3}}-\frac12\right)\cup(4,+\infty)$$;
г) $$x\in\left(\frac{1}{729},\,27\right)$$.