Упр.18.2 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 18.2. a) log5(3x + 1) < 2; в) log2/3(x/5) > 1; 6) log0,5(x/3) больше или равно -2; г) log корень 3(2x — 3) < 4.

1. а) $$\log_5(3x+1)<2$$

   Так как основание $$5>1$$, логарифмическая функция возрастает, значит

   $$3x+1<5^2=25.$$

   С учётом ОДЗ:

   $$3x+1>0.$$

   Получаем систему:

   $$ \begin{cases} 3x+1>0,\\ 3x+1<25. \end{cases} $$

   Отсюда

   $$-\frac13<x<8.$$

2. б) $$\log_{0,5}\frac{x}{3}\ge -2$$

   Так как основание $$0{,}5<1$$, функция убывает, поэтому знак неравенства меняется:

   $$\frac{x}{3}\le (0{,}5)^{-2}=4.$$

   С учётом ОДЗ:

   $$\frac{x}{3}>0.$$

   Тогда

   $$0<x\le 12.$$

3. в) $$\log_{\frac23}\frac{x}{5}>1$$

   Так как основание $$\frac23<1$$, знак неравенства меняется:

   $$\frac{x}{5}<\left(\frac23\right)^1=\frac23.$$

   С учётом ОДЗ:

   $$\frac{x}{5}>0.$$

   Получаем

   $$0<x<\frac{10}{3}.$$

4. г) $$\log_{\sqrt3}(2x-3)<4$$

   Так как основание $$\sqrt3>1$$, функция возрастает, значит

   $$2x-3<(\sqrt3)^4=9.$$

   С учётом ОДЗ:

   $$2x-3>0.$$

   Тогда

   $$ \begin{cases} 2x-3>0,\\ 2x-3<9. \end{cases} $$

   Отсюда

   $$\frac32<x<6.$$

Ответ

а) $$x\in\left(-\frac13;8\right)$$; б) $$x\in(0;12]$$; в) $$x\in\left(0;\frac{10}{3}\right)$$; г) $$x\in\left(\frac32;6\right)$$.