Упр.18.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

а) $$\log_2^2 x^2-15\log_2 2x+11\le 0$$
Так как $$\log_2 2x=\log_2 x+1,$$ а $$\log_2 x^2=2\log_2 x,$$ получаем:
$$4(\log_2 x)^2-15\log_2 x-4\le 0.$$
Пусть $$y=\log_2 x.$$ Тогда
$$4y^2-15y-4\le 0.$$
Найдём корни:
$$D=15^2+4\cdot 4\cdot 4=289,$$
$$y_1=\frac{15-17}{8}=-\frac14,\qquad y_2=\frac{15+17}{8}=4.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$-\frac14\le y\le 4.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$-\frac14\le \log_2 x\le 4.$$
Отсюда
$$x\ge 2^{-1/4}=\frac1{\sqrt[4]{2}},\qquad x\le 2^4=16.$$
б) $$\log_{1/3}^2(x^2-2x+1)-7\log_{1/3}(x-1)+3\le 0$$
Так как $$x^2-2x+1=(x-1)^2,$$ то
$$\log_{1/3}^2(x-1)^2-7\log_{1/3}(x-1)+3\le 0.$$
Пусть $$y=\log_{1/3}(x-1).$$ Тогда
$$4y^2-7y+3\le 0.$$
Найдём корни:
$$D=7^2-4\cdot 4\cdot 3=1,$$
$$y_1=\frac{7-1}{8}=\frac34,\qquad y_2=\frac{7+1}{8}=1.$$
Следовательно,
$$\frac34\le y\le 1.$$
Так как основание $$\frac13<1,$$ знак неравенств при переходе к аргументу меняется:
$$\log_{1/3}(x-1)\ge \frac34,\qquad \log_{1/3}(x-1)\le 1.$$
Отсюда
$$0<x-1\le \left(\frac13\right)^{3/4}=\frac1{\sqrt[4]{27}},$$
то есть
$$1<x\le 1+\frac1{\sqrt[4]{27}}.$$
в) $$2\log_5^2 x^2+5\log_5 25x-8\ge 0$$
Преобразуем:
$$2\cdot 4(\log_5 x)^2+5(2+\log_5 x)-8\ge 0,$$
то есть
$$8(\log_5 x)^2+5\log_5 x+2\ge 0.$$
Пусть $$y=\log_5 x.$$ Тогда
$$8y^2+5y+2\ge 0.$$
Дискриминант:
$$D=5^2-4\cdot 8\cdot 2=25-64=-39<0.$$
Так как старший коэффициент положительный, то неравенство выполняется при всех $$y\in \mathbb{R}.$$
С учётом области определения $$x>0$$ получаем:
г) $$\log_{1/5}^2(x^2+2x+1)-31\log_{1/5}(x+1)+15<0$$
Так как $$x^2+2x+1=(x+1)^2,$$ то
$$\log_{1/5}^2(x+1)^2-31\log_{1/5}(x+1)+15<0.$$
Пусть $$y=\log_{1/5}(x+1).$$ Тогда
$$4y^2-31y+46<0.$$
Найдём корни:
$$D=31^2-4\cdot 4\cdot 46=225,$$
$$y_1=\frac{31-15}{8}=2,\qquad y_2=\frac{31+15}{8}=\frac{23}{4}.$$
Следовательно,
$$2<y<\frac{23}{4}.$$
Так как $$\frac15<1,$$ то при переходе к аргументу знак неравенств меняется:
$$\left(\frac15\right)^{23/4}<x+1<\left(\frac15\right)^2.$$
Но $$x+1>0,$$ поэтому получаем
$$-1<x<-\frac{24}{25}.$$