Упр.18.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 18.16. a) log2 (x2 + 2x + 4) + log2 (x — 2) < log2 (x3 - x2 + 4x - 3); б) lg (x3 - x2 - x + 20) больше или равно lg (x + 2) + lg (x2 - 2x + 4).

а) Рассмотрим неравенство

$$\log_2(x^2+2x+4)+\log_2(x-2)<\log_2(x^3-x^2+4x-3).$$

Объединим логарифмы слева:

$$\log_2\bigl((x^2+2x+4)(x-2)\bigr)<\log_2(x^3-x^2+4x-3).$$

Так как основание логарифма $2>1$, получаем

$$ (x^2+2x+4)(x-2)<x^3-x^2+4x-3.$$

Раскроем скобки:

$$x^3-8<x^3-x^2+4x-3,$$

$$x^2-4x-5<0,$$

$$ (x+1)(x-5)<0.$$

Отсюда

$$-1<x<5.$$

Теперь учтём область определения:

$$x-2>0,\quad x>2.$$

Пересекаем с найденным промежутком:

$$x\in(2;5).$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\lg(x^3-x^2-x+20)\ge \lg(x+2)+\lg(x^2-2x+4).$$

Объединим логарифмы справа:

$$\lg(x^3-x^2-x+20)\ge \lg\bigl((x+2)(x^2-2x+4)\bigr).$$

Так как основание десятичного логарифма больше 1, получаем

$$x^3-x^2-x+20\ge (x+2)(x^2-2x+4).$$

Раскроем скобки:

$$x^3-x^2-x+20\ge x^3-8,$$

$$x^2+x-12\le 0,$$

$$ (x+4)(x-3)\le 0.$$

Отсюда

$$-4\le x\le 3.$$

Учтём область определения:

$$x+2>0,\quad x>-2.$$

Пересечение даёт

$$x\in(-2;3].$$

Ответ

а) $$x\in(2;5).$$

б) $$x\in(-2;3].$$