Упр.18.15 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 18.15. a) lg (x + 3) + lg (2x — 8) < 2lgx; б) log0,5(3x - 1) - log0,5(x - 1) < log0,5(x + 18) - log0,5(x + 2); в) log3 (2x - 7) больше или равно 2 log3 (x + 1) - log3 (x - 19); г) log1/3 (2x + 3) + log1/3 (x - 2) больше или равно 1/2log1/3(x2) + log1/3(4x - 9).

1. а)

   $$\lg(x+3)+\lg(2x-8)<2\lg x$$
   $$\lg\bigl((x+3)(2x-8)\bigr)<\lg x^2$$

   Так как функция $$\lg t$$ возрастает, получаем:
   $$ (x+3)(2x-8)<x^2 $$
   $$2x^2-2x-24<x^2$$
   $$x^2-2x-24<0$$
   $$ (x-6)(x+4)<0 $$
   $$-4<x<6$$

   Область определения:
   $$x+3>0,\quad 2x-8>0,\quad x>0$$
   $$x>-3,\quad x>4,\quad x>0$$
   $$x>4$$

   Пересечение с найденным промежутком:
   $$x\in(4;6)$$

2. б)

   $$\log_{0,5}(3x-1)-\log_{0,5}(x-1)<\log_{0,5}(x+18)-\log_{0,5}(x+2)$$
   $$\log_{0,5}\frac{3x-1}{x-1}<\log_{0,5}\frac{x+18}{x+2}$$

   Так как основание $$0,5<1$$, знак неравенства меняется:
   $$\frac{3x-1}{x-1}>\frac{x+18}{x+2}$$
   $$\frac{(3x-1)(x+2)-(x+18)(x-1)}{(x-1)(x+2)}>0$$
   $$\frac{2x^2-6x+8}{(x-1)(x+2)}>0$$
   $$\frac{2(x-2)(x-4)}{(x-1)(x+2)}>0$$
   $$\frac{(x-2)(x-4)}{(x-1)(x+2)}>0$$

   Область определения:
   $$x>\frac13,\quad x>1,\quad x>-18,\quad x>-2$$
   значит, $$x>1$$.

   По знакам дроби получаем:
   $$x\in(1;2)\cup(4;+\infty)$$

3. в)

   $$\log_3(2x-7)\ge 2\log_3(x+1)-\log_3(x-19)$$
   $$\log_3(2x-7)\ge \log_3\frac{(x+1)^2}{x-19}$$

   Так как основание $$3>1$$, получаем:
   $$2x-7\ge \frac{(x+1)^2}{x-19}$$
   $$\frac{(2x-7)(x-19)-(x+1)^2}{x-19}\ge 0$$
   $$\frac{x^2-47x+132}{x-19}\ge 0$$
   $$\frac{(x-3)(x-44)}{x-19}\ge 0$$

   Область определения:
   $$2x-7>0,\quad x+1>0,\quad x-19>0$$
   $$x>\frac72,\quad x>-1,\quad x>19$$
   значит, $$x>19$$.

   С учётом ОДЗ:
   $$x\in[44;+\infty)$$

4. г)

   $$\log_{1/3}(2x+3)+\log_{1/3}(x-2)\ge \frac12\log_{1/3}(x^2)+\log_{1/3}(4x-9)$$
   $$\log_{1/3}\bigl((2x+3)(x-2)\bigr)\ge \log_{1/3}\bigl(x(4x-9)\bigr)$$

   Так как основание $$\frac13<1$$, знак неравенства меняется:
   $$ (2x+3)(x-2)\le x(4x-9) $$
   $$2x^2-x-6\le 4x^2-9x$$
   $$2x^2-8x+6\ge 0$$
   $$x^2-4x+3\ge 0$$
   $$ (x-1)(x-3)\ge 0 $$
   $$x\le 1 \quad \text{или} \quad x\ge 3$$

   Область определения:
   $$2x+3>0,\quad x-2>0,\quad x^2>0,\quad 4x-9>0$$
   $$x>-\frac32,\quad x>2,\quad x\ne 0,\quad x>\frac94$$
   значит, $$x>\frac94$$.

   Пересечение с решением неравенства:
   $$x\in[3;+\infty)$$

Ответ

а) $$x\in(4;6)$$; б) $$x\in(1;2)\cup(4;+\infty)$$; в) $$x\in[44;+\infty)$$; г) $$x\in[3;+\infty)$$.