Упр.18.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите неравенство: 18.14. a) log1/3(x) + log1/3(4 — x) > -1; б) log2 (7 — x) + log2(х) больше или равно 1 + log2(3); в) lg (7 — x) + lg > 1; г) log1/2(х) + log1/2 (10 — x) больше или равно -1 + log1/2(4,5). 2 2 2

Подробный ответ

а) $$\log_{\frac13}x+\log_{\frac13}(4-x)>-1$$
Объединим логарифмы:
$$\log_{\frac13}\bigl(x(4-x)\bigr)>-1=\log_{\frac13}3$$
Так как основание $$\frac13<1$$, знак неравенства меняется:
$$x(4-x)<3$$
$$x^2-4x+3>0$$
$$ (x-1)(x-3)>0 $$
Отсюда $$x<1$$ или $$x>3$$.
С учётом ОДЗ:
$$x>0,\quad 4-x>0 \Rightarrow 0<x<4$$
Получаем:
$$x\in(0;1)\cup(3;4).$$
б) $$\log_2(7-x)+\log_2x\ge 1+\log_2 3$$
$$\log_2\bigl(x(7-x)\bigr)\ge \log_2 2+\log_2 3=\log_2 6$$
Так как основание $$2>1$$, знак неравенства сохраняется:
$$x(7-x)\ge 6$$
$$x^2-7x+6\le 0$$
$$ (x-1)(x-6)\le 0 $$
Отсюда $$1\le x\le 6$$.
С учётом ОДЗ:
$$x>0,\quad 7-x>0 \Rightarrow x<7$$
Итак,
$$x\in[1;6].$$
в) $$\lg(7-x)+\lg x>1$$
$$\lg\bigl(x(7-x)\bigr)>\lg 10$$
Так как основание десятичного логарифма больше 1, получаем:
$$x(7-x)>10$$
$$x^2-7x+10<0$$
$$ (x-2)(x-5)<0 $$
Отсюда $$2<x<5$$.
ОДЗ:
$$x>0,\quad 7-x>0 \Rightarrow x<7$$
Следовательно,
$$x\in(2;5).$$
г) $$\log_{\frac12}x+\log_{\frac12}(10-x)\ge -1+\log_{\frac12}4{,}5$$
$$\log_{\frac12}\bigl(x(10-x)\bigr)\ge \log_{\frac12}2+\log_{\frac12}4{,}5=\log_{\frac12}9$$
Так как основание $$\frac12<1$$, знак неравенства меняется:
$$x(10-x)\le 9$$
$$x^2-10x+9\ge 0$$
$$ (x-1)(x-9)\ge 0 $$
Отсюда $$x\le 1$$ или $$x\ge 9$$.
С учётом ОДЗ:
$$x>0,\quad 10-x>0 \Rightarrow 0<x<10$$
Получаем:
$$x\in(0;1]\cup[9;10).$$