Упр.18.13 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 18.13. Сколько целочисленных решений имеет неравенство: а) log12 (x2 — x) меньше или равно 1; б) log1/2(x2 — 10x + 9) больше или равно 0; в) log9 (х2 — 8x) меньше или равно 1; г) log0,3(-x2 + 7x-5) < 0?

Подробный ответ

$$\log_{12}(x^2-x)\le 1$$

Так как $$12>1$$, получаем:
$$x^2-x\le 12.$$
Тогда
$$ x^2-x-12\le 0 $$
$$ (x+3)(x-4)\le 0 $$
$$ -3\le x\le 4. $$
Область определения:
$$ x^2-x>0 $$
$$ x(x-1)>0 $$
$$ x<0 \text{ или } x>1. $$
Пересечение даёт целые решения:
$$x=-3,-2,-1,2,3,4.$$
Их количество: $$6.$$
$$\log_{\frac12}(x^2-10x+9)\ge 0$$

Так как $$0<\frac12<1$$, знак неравенства меняется:
$$ x^2-10x+9\le 1. $$
Тогда
$$ x^2-10x+8\le 0 $$
$$ (x-4)(x-2)\le 0 $$
$$ 2\le x\le 4. $$
Область определения:
$$ x^2-10x+9>0 $$
$$ (x-1)(x-9)>0 $$
$$ x<1 \text{ или } x>9. $$
Пересечение множеств решений пусто, целых решений нет.
$$\log_9(x^2-8x)\le 1$$

Так как $$9>1$$, получаем:
$$ x^2-8x\le 9. $$
Тогда
$$ x^2-8x-9\le 0 $$
$$ (x+1)(x-9)\le 0 $$
$$ -1\le x\le 9. $$
Область определения:
$$ x^2-8x>0 $$
$$ x(x-8)>0 $$
$$ x<0 \text{ или } x>8. $$
Пересечение даёт целые решения:
$$x=-1,9.$$
Их количество: $$2.$$
$$\log_{0,3}(-x^2+7x-5)<0$$

Так как $$0<0,3<1$$, знак неравенства меняется:
$$ -x^2+7x-5>1. $$
Тогда
$$ -x^2+7x-6>0 $$
$$ x^2-7x+6<0 $$
$$ (x-1)(x-6)<0 $$
$$ 1<x<6. $$
Целые решения:
$$x=2,3,4,5.$$
Их количество: $$4.$$