Упр.18.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 18.12 Решите неравенство: а)log1/3((3x-2)/(2x-3)) > -1; б)log5(2корень3 степени x2 — 3 корень3 степени x) < 1; в)log6((7x-4)/(x+2)) меньше или равно 0; г)log0,1(7x2-x4) > -1.

1. $$\log_{\frac13}\frac{3x-2}{2x-3}>-1$$
   
   Так как основание $$\frac13<1,$$ знак неравенства меняется: $$\frac{3x-2}{2x-3}<3.$$ $$\frac{3x-2-3(2x-3)}{2x-3}<0,$$ $$\frac{-3x+7}{2x-3}<0,$$ $$\frac{3x-7}{2x-3}>0.$$
   
   Критические точки: $$x=\frac32,\ \frac73.$$
   
   По знакам получаем:
   $$x\in\left(-\infty;\frac32\right)\cup\left(\frac73;+\infty\right).$$
   
   Проверка ОДЗ:
   $$\frac{3x-2}{2x-3}>0,$$
   откуда
   $$x\in\left(-\infty;\frac23\right)\cup\left(\frac32;+\infty\right).$$
   
   Пересечение множеств:
   $$x\in\left(-\infty;\frac23\right)\cup\left(\frac73;+\infty\right).$$
2. $$\log_5\left(2\sqrt[3]{x^2}-3\sqrt[3]{x}\right)<1$$
   Так как основание $$5>1,$$ получаем:
   $$2\sqrt[3]{x^2}-3\sqrt[3]{x}<5.$$
   Положим $$t=\sqrt[3]{x}.$$ Тогда $$\sqrt[3]{x^2}=t^2,$$ и неравенство принимает вид
   $$2t^2-3t-5<0.$$
   $$2t^2-3t-5=(2t-5)(t+1).$$
   
   Отсюда
   $$-1<t<\frac52.$$
   
   Теперь учтём ОДЗ:
   $$2\sqrt[3]{x^2}-3\sqrt[3]{x}>0,$$
   $$\sqrt[3]{x}(2\sqrt[3]{x}-3)>0.$$
   
   При $$t=\sqrt[3]{x}$$ имеем
   $$t(2t-3)>0,$$
   значит
   $$t<0 \quad \text{или} \quad t>\frac32.$$
   
   Пересекаем с найденным промежутком:
   $$t\in(-1;0)\cup\left(\frac32;\frac52\right).$$
   
   Возвращаясь к $$x,$$ получаем
   $$x\in(-1;0)\cup\left(\frac{27}{8};\frac{125}{8}\right).$$
3. $$\log_6\frac{7x-4}{x+2}\le 0$$
   
   Так как основание $$6>1,$$ имеем:
   $$\frac{7x-4}{x+2}\le 1.$$
   $$\frac{7x-4-(x+2)}{x+2}\le 0,$$
   $$\frac{6x-6}{x+2}\le 0,$$
   $$\frac{x-1}{x+2}\le 0.$$
   
   Критические точки: $$x=-2,\ 1.$$
   
   По знакам:
   $$x\in(-2;1].$$
   
   ОДЗ:
   $$\frac{7x-4}{x+2}>0,$$
   откуда
   $$x\in\left(-\infty;-2\right)\cup\left(\frac47;+\infty\right).$$
   
   Пересечение:
   $$x\in\left(\frac47;1\right].$$
4. $$\log_{0{,}1}(7x^2-x^4)>-1$$
   
   Так как основание $$0{,}1<1,$$ знак неравенства меняется: $$7x^2-x^4<10.$$ $$x^4-7x^2+10>0.$$
   
   Положим $$t=x^2.$$ Тогда
   $$t^2-7t+10>0,$$
   $$ (t-2)(t-5)>0.$$
   
   Следовательно,
   $$t<2 \quad \text{или} \quad t>5.$$
   
   Возвращаясь к $$x,$$ получаем
   $$x^2<2 \quad \text{или} \quad x^2>5,$$
   то есть
   $$x\in(-\infty;-\sqrt5)\cup(-\sqrt2;\sqrt2)\cup(\sqrt5;+\infty).$$
   
   Теперь учтём ОДЗ:
   $$7x^2-x^4>0,$$
   $$x^2(7-x^2)>0,$$
   откуда
   $$x\in(-\sqrt7;0)\cup(0;\sqrt7).$$
   
   Пересечение даёт:
   $$x\in(-\sqrt7;-\sqrt5)\cup(-\sqrt2;0)\cup(0;\sqrt2)\cup(\sqrt5;\sqrt7).$$

Ответ

а) $$x\in\left(-\infty;\frac23\right)\cup\left(\frac73;+\infty\right);$$
б) $$x\in(-1;0)\cup\left(\frac{27}{8};\frac{125}{8}\right);$$
в) $$x\in\left(\frac47;1\right];$$
г) $$x\in(-\sqrt7;-\sqrt5)\cup(-\sqrt2;0)\cup(0;\sqrt2)\cup(\sqrt5;\sqrt7).$$