Упр.18.11 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 18.11 а)log8(x2-7x) > 1; б)log1/2(x2+0,5x) меньше или равно 1; в)log2(x2-6x+24) < 4 г)log1/3(-x2+10/9*x) больше или равно 2.

1. а) $$\log_8(x^2-7x)>1$$

   Так как $$8>1$$, то

   $$x^2-7x>8.$$

   Получаем:

   $$x^2-7x-8>0$$

   $$ (x+1)(x-8)>0.$$

   Отсюда

   $$x<-1 \text{ или } x>8.$$

   С учётом области определения $$x^2-7x>0$$ получаем тот же ответ.

2. б) $$\log_{\frac12}(x^2+0{,}5x)\le 1$$

   Так как $$0<\frac12<1$$, знак неравенства меняется:

   $$x^2+0{,}5x\ge \frac12.$$

   $$2x^2+x-1\ge 0$$

   $$ (2x-1)(x+1)\ge 0.$$

   Отсюда

   $$x\le -1 \text{ или } x\ge \frac12.$$

   Область определения: $$x^2+0{,}5x>0,$$ то есть $$x<-0{,}5 \text{ или } x>0.$$

   Пересечение даёт:

   $$x\in(-\infty;-1]\cup\left[\frac12;+\infty\right).$$

3. в) $$\log_2(x^2-6x+24)<4$$

   Так как $$2>1$$, то

   $$x^2-6x+24<16.$$

   $$x^2-6x+8<0$$

   $$ (x-2)(x-4)<0.$$

   Отсюда

   $$2<x<4.$$

   Область определения выполняется автоматически, так как

   $$x^2-6x+24=(x-3)^2+15>0.$$

4. г) $$\log_{\frac13}\left(-x^2+\frac{10}{9}x\right)\ge 2$$

   Так как $$0<\frac13<1$$, знак неравенства меняется:

   $$-x^2+\frac{10}{9}x\le \left(\frac13\right)^2=\frac19.$$

   $$-x^2+\frac{10}{9}x-\frac19\le 0$$

   $$9x^2-10x+1\ge 0$$

   $$ (9x-1)(x-1)\ge 0.$$

   Отсюда

   $$x\le \frac19 \text{ или } x\ge 1.$$

   Область определения:

   $$-x^2+\frac{10}{9}x>0$$

   $$x\left(\frac{10}{9}-x\right)>0,$$

   то есть

   $$0<x<\frac{10}{9}.$$

   Пересечение даёт:

   $$x\in\left(0;\frac19\right]\cup\left[1;\frac{10}{9}\right).$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;-1)\cup(8;+\infty)$$; б) $$x\in(-\infty;-1]\cup\left[\frac12;+\infty\right)$$; в) $$x\in(2;4)$$; г) $$x\in\left(0;\frac19\right]\cup\left[1;\frac{10}{9}\right).$$