Упр.18.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 18.10 а)log2((4-x)/(x-2)) меньше или равно log2(1/(x-2)); б)log 0,5(7/(3x-2)) > log 0,5(4x/(3x-2)).

а) Так как основание логарифма $$2>1,$$ то функция $$\log_2 x$$ возрастает, значит можно сравнить подлогарифмические выражения:

$$\frac{4-x}{x-2}\le \frac{1}{x-2}.$$

Перенесём всё в одну дробь:

$$\frac{4-x-1}{x-2}\le 0,$$

$$\frac{3-x}{x-2}\le 0,$$

$$\frac{x-3}{x-2}\ge 0.$$

Найдём область определения:

$$\frac{4-x}{x-2}>0,\qquad \frac{1}{x-2}>0.$$

Из этих неравенств получаем:

$$2<x<4.$$

Решаем неравенство $$\frac{x-3}{x-2}\ge 0$$ методом интервалов. С учётом ОДЗ остаётся:

$$x\in[3;4).$$

б) Основание $$0{,}5<1,$$ значит логарифмическая функция убывает, поэтому знак неравенства при сравнении подлогарифмических выражений меняется:

$$\frac{7}{3x-2}<\frac{4x}{3x-2}.$$

Приведём к общему виду:

$$\frac{7-4x}{3x-2}<0,$$

или

$$\frac{4x-7}{3x-2}>0.$$

Область определения:

$$\frac{7}{3x-2}>0,\qquad \frac{4x}{3x-2}>0.$$

Так как числители положительны, то нужно, чтобы

$$3x-2>0,$$

то есть

$$x>\frac{2}{3}.$$

Теперь решаем неравенство $$\frac{4x-7}{3x-2}>0.$$ Критические точки: $$x=\frac{2}{3}$$ и $$x=\frac{7}{4}.$$

С учётом ОДЗ получаем:

$$x\in\left(\frac{7}{4};+\infty\right).$$

Ответ

а) $$x\in[3;4)$$; б) $$x\in\left(\frac{7}{4};+\infty\right).$$