Упр.18.1 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите неравенство: 18.1. a) log2(x) больше или равно 4; б) log1/2(x) > -3; в)log2(x) < 1/2; г) log0,1(x) меньше или равно -1/2.
а) $$\log_2 x \ge 4$$
Так как $$4=\log_2 16$$, то
$$\log_2 x \ge \log_2 16.$$
Основание $$2>1$$, значит знак неравенства сохраняется:
$$x \ge 16.$$
С учётом области определения $$x>0$$ получаем:
$$x \in [16; +\infty).$$
б) $$\log_{\frac12} x > -3$$
Так как $$-3=\log_{\frac12} 8$$, то
$$\log_{\frac12} x > \log_{\frac12} 8.$$
Основание $$\frac12<1$$, значит знак неравенства меняется:
$$x < 8.$$
С учётом области определения $$x>0$$ получаем:
$$x \in (0; 8).$$
в) $$\log_2 x < \frac12$$
Так как $$\frac12=\log_2 \sqrt2$$, то
$$\log_2 x < \log_2 \sqrt2.$$
Основание $$2>1$$, значит знак неравенства сохраняется:
$$x < \sqrt2.$$
С учётом области определения $$x>0$$ получаем:
$$x \in (0; \sqrt2).$$
г) $$\log_{0{,}1} x \le -\frac12$$
Так как $$-\frac12=\log_{0{,}1} \sqrt{10}$$, то
$$\log_{0{,}1} x \le \log_{0{,}1} \sqrt{10}.$$
Основание $$0{,}1<1$$, значит знак неравенства меняется:
$$x \ge \sqrt{10}.$$
С учётом области определения $$x>0$$ получаем:
$$x \in [\sqrt{10}; +\infty).$$
Ответ
а) $$x \in [16; +\infty)$$; б) $$x \in (0; 8)$$; в) $$x \in (0; \sqrt2)$$; г) $$x \in [\sqrt{10}; +\infty).$$
